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- 中文名
- 第二数学归纳法
- 外文名
- Strong Mathematical Induction
- 别 名
- 完整归纳法
- 意 义
- 一种重要的论证方法
- 方 法
- 从最小自然数原理出发
简介
数学归纳法
是一种重要的
论证方法
。我们通常所说的“数学归纳法”大多是指它的第一种形式而言，本文从最小自然数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨，旨在加深对数学归纳法的认识，并得到一种加强的
证明方法
。相对于
第一数学归纳法
，第二数学归纳法的假设更强，理论上可以使用第一数学归纳法证明的，必然可以使用第二数学归纳法证明；反之则不一定成立，我们有一个有关整数的
整除
理论的典型证明：“所有大于1的整数都可以分解成若干个
素数
的乘积”来看出这一点。
原理
（1）当n=1，P
1
成立；
[1]
（2）对n>1,若对所有自然数m<n,P
m
成立，推出P
n
成立；
[1]
命题对于一切自然数n来说都成立。
[1]
证明
设C表示使命题不成立的自然数所组成的集合，C非空
[1]
由(1) P
1
成立，知t
0
>1
[1]
由（2）知，取n=t
0
有m<t
0
,使得P
m
不成立
[1]
由C的定义知m属于C，与t0最小矛盾
[1]
得证
说明
在假如论证在n=k+1时的真伪时，必须以n取不大于k的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据，则一般选用第二
数学归纳法
进行论证。之所以这样，其根本原则在于第二
数学归纳
法的归纳假设的要求较之
第一数学归纳法
更强，不仅要求命题在n=k时成立，而且还要求命题对于一切小于k的自然数来说都成立，反过来，能用第一数学归纳法来论证的
数学命题
，一定也能用第二数学归纳进行证明，这一点是不难理解的。不过一般说来，没有必要这样做。
第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。
