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数学分析一简介
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1
实数的公理化描述
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2
区间套公理与确界原理, 距离空间
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3
实数的构造: Dedekind 分割
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作业: 可数与不可数, Schröder–Bernstein 定理
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4
极限与收敛
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5
收敛判别法
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6
指数函数与三角函数的构造与性质
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作业: Riemann 重排, Cesàro 求和, Banach–Mazur 游戏
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7
乘积级数与 Riemann
ζ
函数, 振荡级数的收敛判断, 完备赋范线性空间
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作业: 素数的倒数和, Basel 问题的 Euler “证明”
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8
函数的连续性
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9
连续映射, 介值定理, 初等函数的构造
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10
连续函数的拓扑刻画
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作业: 拓扑与连续性
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11
紧性与开覆盖, 一致连续性与函数列的收敛
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12
利用级数收敛来构造连续函数, 距离空间的完备化
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作业: 有无穷多素数的拓扑证明
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期中考试: 连续函数环的极大理想
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13
导数的定义与计算
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14
导数的基本性质、应用与推广
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15
中值定理的应用
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作业: 高木贞治函数
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16
空间填充曲线, L’Hôpital 法则, Taylor 展开
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17
凸函数与 Jensen 不等式
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作业: Émile Borel 引理, Peano 的证明
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18
Riemann 积分的定义
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19
Riemann 和与 Darboux 上下和
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作业: Sturm–Liouville 理论的一个例子
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20
Riemann 可积函数的刻画, Newton–Leibniz 公式
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作业: Dini 定理, 多项式逼近与 Weierstraß–Stone 定理
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21
Lebesgue 定理
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22
积分的基本性质, 积分余项, 反常积分
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23
历史注记: 微分与积分的交换定理, 含参积分
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作业:
ζ
(
2
)
的无理性
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24
常微分方程解的存在唯一性, Kepler 三大定律的证明, 变分法
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25
最速降线问题, 积分中值定理
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作业: 二平方和数的密度
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26
第二积分中值定理, Stieltjes 积分
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27
Stieltjes 积分的中值定理
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作业: 振荡积分
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28
一元微积分拾遗: Baire 纲定理, Liouville 定理
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29
一元微积分拾遗: 振荡与衰减
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期末考试: 两个积分的计算, 整系数多项式的逼近
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寒假作业
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