4 + w 2 2 4 + w 2 w j

这是一个复变函数,令w在(0,+∞)上增大,在复数域中列表、描点、连线即可得到对应的Nyquist曲线:

在这里插入图片描述
(解析法虽精确,但过于繁琐,不适用于实践)

箭头方向即为w增大的方向,因为Nyquist曲线关于实轴对称,所以一般只绘制w从 0 变化至 +∞ 的Nyquist曲线

概略图法绘制

G\left( jw \right) H\left( jw \right) =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{jw\left( jw+1 \right) \left( \frac{1}{3}jw+1 \right)}
G ( j w ) H ( j w ) = 3 1 j w ( j w + 1 ) ( 3 1 j w + 1 ) 1
  • w=0+起点 的幅值和相位
    φ ( w ) = 0 ° 9 0 ° = 9 0 ° 可得,起点在 第三象限虚轴左侧 的位置

    为什么这里不是右侧呢?
    因为在原频率特性中还有(jw+1)这样的项,在w=0+时,有一个很小的正角度,使得最后的φ(w)的绝对值实际上大于90°

    1. w=+∞终点 的幅值和相位

      当w=+∞: G\left( jw \right) H\left( jw \right) =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{jw\left( jw+1 \right) \left( \frac{1}{3}jw+1 \right)}\mid_{w=+\infty}^{} G ( j w ) H ( j w ) = 3 1 j w ( j w + 1 ) ( 3 1 j w + 1 ) 1 w = + φ ( w ) = 0 ° + ( 0 ° ( 9 0 ° + 9 0 ° + 9 0 ° ) ) = 2 7 0 ° 可得,终点在 第二象限靠近原点 的位置

    为什么这里不是右侧呢?
    因为在原频率特性中还有(jw+1)这样的项,在w=0+时,有一个很小的正角度,使得最后的φ(w)的绝对值实际上大于90°

    1. 求曲线与 虚轴的交点
      令频率特性中实部为0,求出自变量频率w的值,再代入到频率特性的虚部中,即可求得与虚轴交点
    2. 求曲线与 实轴的交点
      令频率特性中虚部为0,求出自变量频率w的值,再代入到频率特性的实部中,即可求得与实轴交点

    但在本例中可以省略步骤4、5
    jw、(jw+1)、(1/3jw+1),三者对应的相角范围为:90°、(0,90°)、(0,90°),所以φ(w) ϵ (−90°,−270°),所以Nyquist曲线只在二、三象限,其与虚轴没有交点,与实轴的交点在负半轴。(概略图只需交点的大致位置即可)

    1. 画出大致图形
      在这里插入图片描述

    利用MATALB中 nyquist函数 绘制

    以开环传递函数G(s)H(s)=

    如果对G(jω)H(jω)\large G(j\omega)H(j\omega)G(jω)H(jω)增加一个有限零点(即为传递函数在无穷远处增加一个极点),传递函数的 奈奎斯特 会发生一些很有意思的变化,这个变化也是整个 奈奎斯特 绘制 规则中最难搞的部分,不过即使这样,只要理解的其背后的物理含义,这个变化便很容易,只要用心,你也可以成为 奈奎斯特 。 为了详细说明这个例子,我们不妨看这样一个传递函数,令 G(s)H(s)=Ks(T2s+1)(T1s+1)   for T2&g
    ③必要时可求出G(jω)与实轴、虚轴的交点。 再看细节: 对于一个系统的传递函数,可以将其分解成N个环节串联的形式,对其进行取模和取相角运算,容易知道,系统开环传递函数的频率特性在同一频率下表现为幅值相乘,相角相加。 于是,由起点处有ω=0,在终点处有ω→∞,有 所以 奈奎斯特 的起点一般都在正实轴或无穷远处,而终止于原点。 下面以一个
    MATLAB 可以使用函数nyquist() 绘制 控制系统的Nyquist 曲线 ,具体步骤如下: 1.定义传递函数G(s); 2.使用nyquist(G)函数 绘制 Nyquist 曲线 ; 3.根据Nyquist 曲线 判断系统的稳定性。 例如,假设有一个传递函数G(s) = (s+1)/(s^2+2s+2),可以按照以下代码 绘制 Nyquist 曲线 : ``` matlab % 定义传递函数G(s) G = tf([1 1], [1 2 2]); % 绘制 Nyquist 曲线 nyquist(G); 绘制 出的Nyquist 曲线 可以用于判断系统的稳定性。如果Nyquist 曲线 不经过点(-1,0),则系统是稳定的;如果Nyquist 曲线 经过点(-1,0),则系统是不稳定的。

    ③MATLAB绘制

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