泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“ 函数空间 ”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个 自由度 的力学系统的运动，实际上需要有新的 数学工具 来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从 质点 力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的 量子场 理论就属于无穷自由度系统。

正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和 微积分学 作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷 维空间 的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用 线性 的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。

泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和 极限理论 。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、 巴拿赫代数 、拓扑线性空间理论、 广义函数论 等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、 连续介质力学 、 量子物理 、 计算数学 、 控制论 、 最优化理论 等学科中都有重要的应用，还是建立 群上调和分析 理论的基本工具，也是研究无限个自由度 物理系统 的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。

泛函分析在数学物理方程、 概率论 、 计算数学 、 连续介质力学 、 量子物理学 等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。