在多元微分学中， 全微分 是一元实函数中 微分 概念的推广，它表征的是有限维空间上的一个实值函数对各个变元的线性近似，在 Banach 空间的微分学中，全微分对应的数学概念是 Frechet 导数 。

1 全微分

2 与偏导数的关系

3 高阶全微分

4 形式不变性

5 上下节

全微分 [ ]

以二元函数为例，设函数 ${\displaystyle u = f(x, y)}$ 的全改变量可以表示为 {\displaystyle \begin{align} \Delta u & = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y) \\ & = A\Delta x + B \Delta y + o(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}). \end{align}} {\displaystyle A, B} {\displaystyle \Delta x, \Delta y} 无关的常数，我们就说函数 ${\displaystyle f(x, y)}$

如果上述条件成立，那么很容易证明 ${\displaystyle A = \dfrac{\partial u}{\partial x}, B = \dfrac{\partial u}{\partial y}.}$ ，因此我们称 ${\displaystyle A \Delta x + B \Delta y}$ 为函数在这一点的全微分，记作 \mathrm{d}^2 u & = \mathrm{d}(\mathrm{d}u) \\ & = \mathrm{d}[f_x(x, y) \mathrm{d}x] + \mathrm{d}[f_y (x, y) \mathrm{d}y] \\ & = f_{xx} \mathrm{d}x^2 + 2f_{xy} \mathrm{d}x\mathrm{d}y + f_{yy} \mathrm{d}y^2. \end{align}} 最后一个等号假设 ${\displaystyle \begin{align} \mathrm{d} u & = \dfrac{\partial u}{\partial s} \mathrm{d}s + \dfrac{\partial u}{\partial t} \mathrm{d}t \\ & = \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} \cdot \dfrac{\partial x}{\partial s} + \dfrac{\partial u}{\partial y} \cdot \dfrac{\partial y}{\partial s} \right) \mathrm{d}s + \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} \cdot \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial u}{\partial y} \cdot \dfrac{\partial y}{\partial t} \right) \mathrm{d}t \\ & = \dfrac{\partial u}{\partial x} \left( \dfrac{\partial x}{\partial s} \mathrm{d}s + \dfrac{\partial x}{\partial t} \mathrm{d}t \right) + \dfrac{\partial u}{\partial y} \left( \dfrac{\partial y}{\partial s} \mathrm{d}s + \dfrac{\partial y}{\partial t} \mathrm{d}t \right) \\ & = \dfrac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d}x + \dfrac{\partial u}{\partial y} \mathrm{d}y . \end{align}}$

上下节 [ ]

• 上一节： 偏导数
• 下一节： 方程（组）求偏导

微分学 （学科代码：1103410， GB/T 13745—2009 ） 数列 ▪ 数列极限 ▪ 上极限 和下极限 ▪ 无穷小量 以及 无穷大量 ▪ 两面夹法则 ▪ Stolz 定理 ▪ Toeplitz 定理 ▪ Stirling 公式 ▪ 函数极限 ▪ 第二重要极限 ▪ 不定型极限 与 L' Hospital 法则 ▪ Heine 定理 一元连续性 连续函数 ▪ 间断点 ▪ 一致连续 ▪ Cantor 一致连续性定理 ▪ Lipschitz 连续 和 Hölder 连续 ▪ 基本初等函数 ▪ 幂平均 导数 ▪ 基本初等函数的导数 ▪ 求导法则 ▪ 高阶导数 ▪ 莱布尼兹公式（高阶导数） ▪ 微分 以及 差分 ▪ Darboux 定理 ▪ 零点定理 中值定理
微分的应用 Fermat 定理 ▪ Rolle 定理 ▪ Lagrange 中值定理 ▪ Cauchy 中值定理 ▪ Taylor 公式 ▪ 函数极值 ▪ 函数凸性 ▪ 渐近线 ▪ 曲线的 曲率 多元极限
多元微分 Euclid 空间点集 ▪ Euclid 空间中的基本定理 ▪ 多元函数 ▪ 多元函数的连续性 ▪ 偏导数 ▪ 全微分 ▪ 隐函数求导法 ▪ 方向导数 ▪ 多元 Taylor 展开 ▪ 多元函数的极值 ▪ 多元函数的条件极值 与 Lagrange 乘数法 ▪ 隐函数 所在位置： 数学 （110）→ 数学分析 （11034）→ 微分学 （1103410）