【题型三】 双曲线的图像及其性质

【典题1】 已知双曲线的方程为 \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1\) ，则下列说法错误的是(　　)
A．双曲线 \(C\) 的实轴长为 \(8\)
B．双曲线 \(C\) 的渐近线方程为 \(y = \dfrac { 3 } { 4 } x\)
C．双曲线 \(C\) 的焦点到渐近线的距离为 \(3\)
D．双曲线 \(C\) 上的点到焦点距离的最小值为 \(\dfrac{9}{4}\)
【解析】 双曲线的方程为 \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1\) ，所以 \(a = 4 , \quad b = 3\) ，
所以 \(c = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = 5\) ，
所以实轴长为 \(2 a = 2 \times 4 = 8\) ，即 \(A\) 正确；
渐近线方程为 \(y = \pm\dfrac { b } { a } x = \pm\dfrac { 3 } { 4 } x\) ，即正确；
焦点 \(( 5 , 0 )\) 到渐近线 \(y = \dfrac { 3 } { 4 } x\) 的距离为 \(\dfrac { | \dfrac { 3 } { 4 } \times 5 | } { \sqrt { ( \dfrac { 3 } { 4 } ) ^ { 2 } + 1 } } = 3\) ，即 \(C\) 正确；
对于选项 \(D\) ，设点 \(P ( x , y )\) 为双曲线右支上的一点，点 \(F\) 为双曲线的右焦点，
当 \(x=4\) 时， \(PF\) 取最小值 \(1\) ，即 \(D\) 错误．
故选： \(D\) ．
① 焦点到渐近线的距离是 \(b\) ；
②双曲线上的点到焦点的距离最小值是当点在顶点的位置时取到.

【典题2】 设双曲线 \(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )\) ，的左、右焦点分别为 \(F _ { 1 } , F _ { 2 }\) ，离心率为 \(\sqrt3\) ， \(P\) 是 \(C\) 上一点，且 \(\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 60 ^ { \circ }\) ，若 \(\triangle F _ { 1 } P F _ { 2 }\) 的面积为 \(4\sqrt3\) ，则 \(a=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
根据题意，几何关系如图所示．设 \(| P F _ { 2 } | = m , \quad | P F _ { 1 } | = n\) ，
若 \(\triangle F _ { 1 } P F _ { 2 }\) 的面积为 \(4\sqrt3\) ，可得 \(\dfrac { 1 } { 2 } m n \sin 60 ^ { \circ } = 4 \sqrt { 3 }\) ，
由双曲线定义，可得 \(n-m=2a\) ，
由余弦定理可得 \(4 c ^ { 2 } = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } - 2 m n \cos 60 ^ { \circ }\) ，
所以 \(4 c ^ { 2 } = 4 a ^ { 2 } + 2 m n - m n = 4 a ^ { 2 } + m n = 4 a ^ { 2 } + 16\) ，
离心率为 \(\sqrt3\) ．可得 \(\dfrac { c } { a } = \sqrt { 3 }\) ，代入上式，可得 \(a = \sqrt { 2 }\) ．
①遇到焦点三角形 \(\triangle F _ { 1 } P F _ { 2 }\) 时，要注意双曲线的定义与解三角形内容(正弦定理、余弦定理、面积公式等)的运用；
②在双曲线中，焦点三角形 \(\triangle F _ { 1 } P F _ { 2 }\) 的面积为 \(S = \dfrac { b ^ { 2 } } { \tan \dfrac { \angle P } { 2 } }\) ，这属于二级结论，本题用上题目求解就较简洁些， \(S = \dfrac { b ^ { 2 } } { \tan \dfrac { \angle P } { 2 } } = 4 \sqrt { 3 } \Rightarrow \dfrac { b ^ { 2 } } { \tan 30 ^ { \circ } } = 4 \sqrt { 3 } \Rightarrow b = 2\) ，又 \(\dfrac { c } { a } = \sqrt { 3 }\) ，易得 \(a = \sqrt { 2 }\) .

【典题3】 已知双曲线 \(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )\) 的左、右焦点分别为 \(F _ { 1 } , F _ { 2 }\) ，过 \(F _ { 1 }\) 作斜率为 \(\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\) 的直线 \(l\) 与双曲线 \(C\) 的左、右两支分别交于 \(A,B\) 两点，若 \(| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } |\) ，则双曲线的离心率为 \(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】 \({\color{Red}{方法一}}\) 设 \(A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )\) ，
依题意可设直线方程为 \(y = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( x - c )\) ,
由 \(\begin{cases} { y = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( x - c ) } \\ { \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 } \end{cases}\) ，
得 \(( 2 b ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) x ^ { 2 } - 2 c a ^ { 2 } x - a ^ { 2 } c ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } = 0\) ,
则 \(x _ { 1 } + x _ { 2 } = \dfrac { 2 c a ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } - a ^ { 2 } }\) ，
因为 \(| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } |\) ，
由两点距离公式可得 \(\sqrt { ( x _ { 1 } - c ) ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } } = \sqrt { ( x _ { 2 } - c ) ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 }}\) ,
又 \(y _ { 1 } ^ { 2 } = b ^ { 2 } ( \dfrac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - 1 ) , y _ { 2 } ^ { 2 } = b ^ { 2 } ( \dfrac { x _ { 2 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - 1 )\) ,
化简可得 \(2 a ^ { 2 } = c ( x _ { 1 } + x _ { 2 } )\) ,
所以 \(2 a ^ { 2 } = c \cdot \dfrac { 2 c a ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } - a ^ { 2 } } \Rightarrow b ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } \Rightarrow e = \sqrt { 1 + \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = \sqrt { 3 }\)
\({\color{Red}{方法二}}\) 如图，
取 \(AB\) 中点 \(M\) ，连结 \(F _ { 2 } M\) ，
因为 \(| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } |\) ，所以 \(F _ { 2 } M \perp A B\) ，
设 \(| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } | =x\) ，
因为 \(| A F _ { 2 } | - | A F _ { 1 } | = 2 a\) ，所以 \(| A F _ { 1 } | = x - 2 a\) ，
又 \(| B F _ { 1 } | - | B F _ { 2 } | = 2 a\) ，所以 \(| B F _ { 1 } | = x + 2 a\) ，
所以 \(| A B | = | B F _ { 1 } | - | A F _ { 1 } | = 4 a\) ，所以 \(| A M | = | B M | = 2 a\) 所以 \(| F _ { 1 } M | = | B F _ { 1 } | - | B M | = x\) ，
由勾股定理，知 \(|F _ { 2 } M | = \sqrt { ( F _ { 1 }F _ { 2 } ) ^ { 2 } - ( M F _ { 1 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( B F _ { 2 } ) ^ { 2 } - ( B M ) ^ { 2 } }\) ，
即 \(| F _ { 2 } M | = \sqrt { 4 c ^ { 2 } - x ^ { 2 } } = \sqrt { x ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } }\) ，解得 \(x ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } + 2 c ^ { 2 }\) 所以 \(| F _ { 2 } M | = \sqrt { 2 c ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } } = \sqrt { 2 b ^ { 2 } }\) ，
所以 \(\tan \angle M F _ { 1 } F _ { 2 } = \dfrac { | F _ { 2 } M | } {| F _ { 1 } M | } = \dfrac { \sqrt { 2 b ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 a ^ { 2 } + 2 c ^ { 2 } } } = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\) ，
即 \(\dfrac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } = \dfrac { 1 } { 2 }\) ，化简得 \(c ^ { 2 } = 3 a ^ { 2 }\) ，
离心率 \(e = \dfrac { c } { a } = \sqrt { 3 }\) ．
①方法一是由条件“过 \(F _ { 1 }\) 作斜率为 \(\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\) 的直线 \(l\) ”，想用代数法求解；代数法中 \(| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } |\) 用两点距离公式处理了；
②方法二是通过平几的知识点求解，要多观察图形，多积累一些平几的结论与常见已知条件的处理方法:(1) \(| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } | \Rightarrow\) 等腰三角形的三线合一；(2)斜率为 \(\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\) ，即 \(\tan\angle F _ { 1 } = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\) ，则找直角三角形 \(\triangle MF_1F_2\) ，易得 \(\dfrac { | F _ { 2 } M| } { | F_ { 2 }M|} = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\) ；
③比较两种方法，在本题中计算量来看，方法二优于方法一；思考难度来看，方法一稍容易想到.

【典题4】 已知 \(F _ { 1 } , F _ { 2 }\) 分别为双曲线 \(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )\) 的左右焦点，且 \(| F _ { 1 } F _ { 2 } | = \dfrac { 2 b ^ { 2 } } { a }\) ，点 \(P\) 为双曲线右支上一点， \(I\) 为 \(\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }\) 的内心，过原点 \(O\) 作 \(PI\) 的平行线交 \(PF_1\) 于 \(K\) ，若 \(S _ {\triangle I P F _ { 1 } } = S _ { \triangle I P F_ { 2 } } + \lambda S _ {\triangle I F _ { 1 }F_2 }\) 成立，则下列结论正确的有(　　)
A． \(\lambda= \dfrac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }\) \(\qquad \qquad\) B． \(\lambda= \dfrac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 }\) \(\qquad \qquad\) C．点 \(I\) 的横坐标为 \(a\) \(\qquad \qquad\) D． \(PK=a\)
因为 \(| F _ { 1 } F _ { 2 } | = \dfrac { 2 b ^ { 2 } } { a }\) ，所以 \(2 c = \dfrac { 2 b ^ { 2 } } { a } = \dfrac { 2 c ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } } { a }\) ，
整理得 \(e ^ { 2 } - e - 1 = 0\) ，
因为 \(e>1\) ，所以 \(e= \dfrac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 }\) ，．
设 \(\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }\) 的内切圆半径为 \(r\) ，
由双曲线的定义得 \(| P F _ { 1 } | - | P F _ { 2 } | = 2 a , | F _ { 1 } F _ { 2 } | = 2 c\) ，
\(S _ {\triangle I P F _ { 1 } } = \dfrac { 1 } { 2 } | P F _ { 1 } | r , S _ {\triangle IP F_ { 2 } } = \dfrac { 1 } { 2 } | P F_2| r\) ， \(S _ { \triangle I F_1F _2} = \dfrac { 1 } { 2 } \cdot 2 c \cdot r = c r\) ，
因为 \(S _ {\triangle I P F_ { 1 } } = S _ { \triangle I P F_ { 2 } } + \lambda S _ {\triangle I F _ { 1 }F_2 }\) ，
所以 \(\dfrac { 1 } { 2 } | P F _ { 1 } | \cdot r = \dfrac { 1 } { 2 } | P F _ { 2 } | \cdot r + \lambda c r\) ，
故 \(\lambda= \dfrac { | P F _ { 1 } | - | P F _ { 2 } | } { 2 c } = \dfrac { a } { c } = \dfrac { 1 } { \dfrac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } } = \dfrac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }\) ，
所以 \(A\) 正确， \(B\) 错误．
设内切圆与 \(P F _ { 1 } , P F _ { 2 } , F _ { 1 } F _ { 2 }\) 的切点分别为 \(M,N,T\) ，
可得 \(| P M | = | P N | ， | F _ { 1 } M | = | F _ { 1 } T | ，| F _ { 2 } N | = | F _ { 2 } T |\) ，
由 \(| P F _ { 1 } | - | P F _ { 2 } | = | F _ { 1 } M | - | F _ { 2 } N | = | F _ { 1 } T | - | F _ { 2 } T | = 2 a\) ， \(| F _ { 1 } F _ { 2 } | = | F _ { 1 } T | + | F _ { 2 } T | = 2 c\) ，
可得 \(| F _ { 2 } T | = c - a\) ，可得 \(T\) 的坐标为 \((a,0)\) ，
即点 \(I\) 的横坐标为 \(a\) ，故 \(C\) 正确；
设 \(PI\) 延长线与 \(F _ { 1 } F _ { 2 }\) 交于 \(H\) ，可得 \(\dfrac { | P F _ { 2 } | } { | P F _ { 1 } | } = \dfrac { | F _ { 2 } H | } { | F _ { 1 }H | }\) ，
由 \(| P F _ { 1 } | - | P F _ { 2 } | = 2 a\) ，
可得 \(\dfrac { 2 a } { | P F _ { 1 } | } = \dfrac { 2 | O H | } { | F _ { 1 } H | }\) ，①
由三角形的相似的性质可得 \(\dfrac { | P K | } { | O H | } = \dfrac { | P F _ { 1 } | } { | H F _ { 1 } | }\) ，②
由①②可得 \(| P K | = a\) ．故 \(D\) 正确．
故选： \(ACD\) ．
①得到 \(a,b,c\) 任意两个量或三量的一条等式，均可得到关于离心率 \(e\) 的方程从而求出.
②注意内心的定义及其性质，内心是三角形的角平分线交点，则内心到三边的距离相等！
③角平分线定理：如图，在 \(\triangle A B C\) 中， \(AD\) 是 \(\angle BAC\) 的角平分线，则 \(\dfrac { A B } { B D } = \dfrac { A C } { C D }\) .
④多观察图形，充分利用平几的知识点，得到各角之间或各线段之间的关系.常见的相似三角形的性质(注意 \(A\) 字型、 \(8\) 字型模型)、等腰三角形的三线合一、角平分线、圆的性质、正余弦定理等等.

1 (★) 若双曲线 \(C：mx^2－y^2=2\) 的实轴长等于虚轴长的一半，则 \(m=\) (　　)
A． \(\dfrac{1}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(2\)

2 (★★) [多选题] 已知双曲线 \(C：\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的离心率为 \(\dfrac{2\sqrt3}{3}\) ，右顶点为 \(A\) ，以 \(A\) 为圆心， \(b\) 为半径作圆 \(A\) ，圆 \(A\) 与双曲线 \(C\) 的一条渐近线交于 \(M、N\) 两点，则有 (　　)
A．渐近线方程为 \(y=±\sqrt3 x\) \(\qquad\) B．渐近线方程为 \(y=±\dfrac{\sqrt3}{3} x\) \(\qquad\) C． \(∠MAN=60^°\) \(\qquad\) D． \(∠MAN=120^°\)

3 (★★) [多选题] 已知 \(F_1,F_2\) 分别是双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的左、右焦点， \(A\) 为左顶点， \(P\) 为双曲线右支上一点，若 \(|PF_1 |=2|PF_2 |\) 且 \(△PF_1 F_2\) 的最小内角为 \(30^°\) ，则(　　)
A．双曲线的离心率 \(\sqrt3\)
B．双曲线的渐近线方程为 \(y=±\sqrt2x\)
C． \(∠PAF_2=45^°\)
D．直线 \(x+2y－2=0\) 与双曲线有两个公共点

4 (★★) 已知点 \(F_1 (－3,0)，F_2 (3,0)\) 分别是双曲线 \(C：\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的左、右焦点， \(M\) 是 \(C\) 右支上的一点， \(MF_1\) 与 \(y\) 轴交于点 \(P\) ， \(△MPF_2\) 的内切圆在边 \(PF_2\) 上的切点为 \(Q\) ，若 \(|PQ|=2\) ，则 \(C\) 的离心率为 \(\underline{\quad \quad}\) .

5 (★★★) 已知双曲线 \(C：\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的左、右焦点分别为 \(F_1，F_2\) ，过 \(F_1\) 的直线与 \(C\) 的左、右支分别交于 \(P、Q\) 两点， \(\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{F_1 P} ，\overrightarrow{F_1 Q} \cdot \overrightarrow{F_2 Q} =0\) ，则 \(C\) 的渐近线方程为 \(\underline{\quad \quad}\) .

6 (★★★) 如图所示，已知双曲线 \(C：\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的右焦点为 \(F\) ，双曲线 \(C\) 的右支上一点 \(A\) ，它关于原点 \(O\) 的对称点为 \(B\) ，满足 \(∠AFB=120^°\) ，且 \(|BF|=2|AF|\) ，则双曲线 \(C\) 的离心率是 \(\underline{\quad \quad}\) .

7 (★★★) 已知双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的左、右焦点分别 \(F_1，F_2\) ，过 \(F_2\) 的直线交双曲线右支于 \(A，B\) 两点． \(∠F_1 AF_2\) 的平分线交 \(BF_1\) 于 \(D\) ，若 \(\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AF_1} +\overrightarrow{AF_2}\) ，则双曲线的离心率为 \(\underline{\quad \quad}\) .

8 (★★★) 已知双曲线 \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\) 的左、右焦点分别为 \(F_1,F_2\) ， \(O\) 为双曲线的中心， \(P\) 是双曲线右支上的点， \(△PF_1 F_2\) 的内切圆的圆心为 \(I\) ，且圆 \(I\) 与 \(x\) 轴相切于点 \(A\) ，过 \(F_2\) 作直线 \(PI\) 的垂线，垂足为 \(B\) ，则 \(\dfrac { | OB | } { | O A | } =\) \(\underline{\quad \quad}\) .

【题型四】最值问题

情况1 求离心率范围

【典题1】 已知双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为 \(\theta\) ，若 \(\theta\) 的取值范围是 \([ \dfrac { \pi } { 2 } , \dfrac { 2 \pi } { 3 } ]\) ，则该双曲线离心率的取值范围是(　　)
A． \(( 1 , \sqrt { 2 } ]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \([ \sqrt { 2 } , 2 ]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \([ \dfrac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } , \sqrt { 2 } ]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \([ 2 , + \infty )\)
【解析】 根据题意，易得双曲线的实轴长为 \(2a\) ，虚轴长为 \(2b\) ；
由双曲线的意义，可得 \(e ^ { 2 } = \dfrac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = 1 + \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }\) ，
以实轴为角平分线的角为 \(\theta\) ，若 \(\theta\) 的取值范围是 \([ \dfrac { \pi } { 2 } , \dfrac { 2 \pi } { 3 } ]\) ，
可得 \(1 \leq \dfrac { b } { a } \leq \sqrt { 3 }\) ；
进而可得： \(e ^ { 2 } = 1 + \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }\in [ 2 , 4 ]\) ,所以 \(e \in [ \sqrt { 2 } , 2 ]\) ．故选： \(B\) ．
求离心率的范围的一般思路：求出 \(a,b,c\) 任意两个量比值的范围得到关于离心率 \(e\) 的不等式，从而求出 \(e\) 的范围,同时也要注意椭圆中 \(0 \lt e \lt 1\) ,双曲线中 \(e>1\) .

情况2 几何法求范围

【典题1】 已知双曲线 \(x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1\) 的右焦点为 \(F\) ，右顶点 \(A\) ， \(P\) 为渐近线上一点，则 \(| P A | + | P F |\) 的最小值为(　　)
A． \(2\sqrt3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\sqrt3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\sqrt5\)
如图：双曲线 \(x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1\) 的右焦点为 \(F ( \sqrt { 2 } , 0 )\) ，
右顶点 \(A(1,0)\) ， \(P\) 为渐近线 \(y=x\) 上一点，
则 \(| P A | + | P F |\) 的最小值就是 \(A\) 关于 \(y=x\) 的对称点 \(A ^ { \prime }\) 到的距离，
所以 \(A ^ { \prime }(0,1)\) ，
则 \(| P A | + | P F |\) 的最小值为： \(\sqrt { ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 3 }\) ．
故选： \(B\) ．
【点拨】 这属于“将军饮马问题”！

【典题2】 点 \(F_2\) 是双曲线 \(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\) 的右焦点，动点 \(A\) 在双曲线左支上，直线 \(l _ { 1 } : t x - y + t - 2 = 0\) 与直线 \(l _ { 2 } : x + t y + 2 t - 1 = 0\) 的交点为 \(B\) ，则 \(| A B | + | A F _ { 2 } |\) 的最小值为(　　)
A． \(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(5 \sqrt { 3 }\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(9\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(6\sqrt { 3 }\)
【解析】 联立直线 \(l _ { 1 } , l _ { 2 }\) 的方程 \(\begin{cases} { t x - y + t - 2 = 0 } \\ { x + t y + 2 t - 1 = 0 } \end{cases}\) ，
可得 \(\begin{cases} { x = - \dfrac { t ^ { 2 } - 1 } { t ^ { 2 } + 1 } } \\ { y + 2 = \dfrac { 2 t } { t + 1 } } \end{cases}\) ，消参数 \(t\) 可得 \(x ^ { 2 } + ( y + 2 ) ^ { 2 } = 1\) ，
所以可得交点 \(B\) 的轨迹为圆心在 \((0,-2)\) ，半径为 \(1\) 的圆，
由双曲线的方程可得 \(a = 3 , b = \sqrt { 3 }\) ，焦点 \(F ( - 2 \sqrt { 3 } , 0 )\) ，
可得 \(| A F _ { 2 } | = | A F _ { 1 } | + 2 a = | A F _ { 1 } | + 6\) ，
所以 \(| A B | + | A F _ { 2 } | = | A B | + | A F _ { 1 } | + 6\) ，
当 \(A , F _ { 1 } , B\) 三点共线时， \(| A B | + | A F _ { 2 } |\) 最小，
所以 \(| A B | + | A F_2 | = | A B | + | A F _ { 1 } | + 6 \geq | B F _ { 1 } | - 1 + 6 = \sqrt { ( - 2 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } + 5 = 9\) ，
当过 \(F_1\) 与圆心的直线与圆的交点 \(B\) 且在 \(F_1\) 和圆心之间时最小．
所以 \(| A B | + | A F _ { 2 } |\) 的最小值为 \(9\) ，故选： \(C\) ．
【点拨】 这属于“三点共线取最值”模型,在圆锥曲线求最值问题用几何法需要明确动点的运动规律，平时掌握常见模型，多观察图象.

情况3 函数法求范围

【典题1】 [多选题]已知为双曲线 \(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } - y ^ { 2 } = 1\) 上的动点，过 \(P\) 作两渐近线的垂线，垂足分别为 \(A,B\) ，记线段 \(PA,PB\) 的长分别为 \(m，n\) ，则(　　)
A．若 \(PA,PB\) 的斜率分别为 \(k _ { 1 } , k _ { 2 }\) ，则$ k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } = - 3$
B． \(m n = \dfrac { 1 } { 2 }\)
C． \(4m+n\) 的最小值为 \(\sqrt3\)
D． \(AB\) 的最小值为 \(\dfrac { 1 } { 2 }\)

如图所示，设 \(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\) ，则 \(\dfrac { x_0 ^ { 2 } } { 3 } - y _ { 0 } ^ { 2 } = 1\) ．
由题设条件知，双曲线的两渐近线：
\(l _ { 1 } : y = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } x , l _ { 2 } : y = - \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } x\) ．
设直线 \(PA,PB\) 的斜率分别为 \(k _ { 1 } , k _ { 2 }\) ，
则 \(k _ { 1 } = - \sqrt { 3 } , \quad k _ { 2 } = \sqrt { 3 }\) ，
所以 \(k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } = - 3\) ，故选项 \(A\) 正确；
由点线距离公式知： \(| P A | = m = \dfrac { | \sqrt { 3 } x _ { 0 } - 3 y _ { 0 } | } { 2 \sqrt { 3 } } , | P B | = n = \dfrac { | \sqrt { 3 } x _ { 0 } + 3 y _ { 0 } | } { 2 \sqrt { 3 } }\) ，
所以 \(m n = \dfrac { | 3 x _ { 0 } ^ { 2 } - 9 y _ { 0 } ^ { 2 } | } { 12 } = \dfrac { 9 } { 12 } \times | \dfrac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 } - y _ { 0 } ^ { 2 } | = \dfrac { 3 } { 4 }\) ，
故选项 \(B\) 错误；
因为 \(4 m + n \geq 4 \sqrt { m m } = 4 \times \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } = 2 \sqrt { 3 }\) ，所以 \(C\) 不正确；
由渐近线的斜率可知 \(\angle AOx = 30 ^ { \circ }\) ，所以 \(\angle AOB =60 ^ { \circ }\) ,
四边形 \(AOBP\) 中易得 \(\angle APB = 120 ^ { \circ }\) ，
所以 \(| A B | = \sqrt { P A ^ { 2 } + P B ^ { 2 } - 2 P A \cdot P B \cdot \cos \angle A P B }=\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n } \geq \sqrt { 3 m n } = \dfrac { 3 } { 2 }\) ，
(当 \(m=n\) ，即点 \(P\) 在双曲线的顶点位置时)
所以 \(D\) 正确，
故选： \(AD\) ．
① \(PA,PB\) 两条线段长度由点 \(P\) 确定，根据题意用点到直线的距离公式表示出来；
②求 \(4m+n\) 与 \(AB=\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n }\) 时，用基本不等式 \(a + b \geq 2 \sqrt { a b } ( a \gt 0 , b \gt 0 )\) 求最值.
③思考:如何处理含一个变量与两个变量的式子最值问题呢？
(1) 含一个变量的，比如求 \(\dfrac { 1 } { m } - \dfrac { 4 } { 4 + m } ( m \geq 1 )\) 的最小值，想到构造 \(f ( m ) = \dfrac { 1 } { m } - \dfrac { 4 } { 4 + m } ( m \geq 1 )\) ，再用函数最值方法求解；
(2) 含两个变量，比如本题中 \(AB=\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n }\) ，在高中阶段常用基本不等式处理，那转化为只含一个变量？思路有两条，一是用 \(n\) 表示 \(m\) 消掉一个变量，但本题 \(m,n\) 没明显的关系；二是用另外一个变量表示,这是可以的，用双曲线的参数方程设点 \(P ( \dfrac { \sqrt { 3 } } { \cos \alpha } , \tan \alpha )\) ，就可以用 \(\alpha\) 表示 \(m,n\) ，从而 \(\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n }\) 变成一个变量表示 \(\alpha\) ，但计算量较大.

【典题2】 已知双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的一条渐近线方程为 \(y = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } x\) ， \(P\) 为双曲线上一个动点， \(F _ { 1 } , F _ { 2 }\) 为其左，右焦点， \(\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}\) 的最小值为 \(-3\) ，则此双曲线的焦距为( )
A． \(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(2\sqrt5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(2\sqrt7\)
【解析】 因为双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的一条渐近线方程为 \(y = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } x\) ，所以 \(\dfrac { b } { a } = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 }\) ，
不妨设 \(a = 2 k , \quad b = \sqrt { 3 } k , \quad k \gt 0\) ，
所以 \(c = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = \sqrt { 7 k }\) ，
所以 \(F _ { 1 } ( - \sqrt { 7 } k , 0 ) , F _ { 2 } ( \sqrt { 7 } k , 0 )\) ，
设 \(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\) ，且 \(x _ { 0 } \leq - 2 k\) 或 \(x _ { 0 } \geq 2 k\) ，即 \(x _ { 0 } ^ { 2 } \geq 4 k ^ { 2 }\) ，
因为 \(\dfrac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\) ，所以 \(y _ { 0 } ^ { 2 } = \dfrac { 3 } { 4 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 3 k ^ { 2 }\) ，
所以 \(\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } } = ( - \sqrt { 7 } k - x _ { 0 } , - y _ { 0 } ) ( \sqrt { 7 } k - x _ { 0 } , - y _ { 0 } )\)
\(= x _ { 0 } ^ { 2 } - 7 k ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } = \dfrac { 7 } { 4 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 0k^2\)
\(\geq 7 k ^ { 2 } - 10 k ^ { 2 } = - 3 k ^ { 2 } = - 3\) ，
解得 \(k = 1 , k = - 1\) (舍去)，
所以 \(c = \sqrt { 7 }\) ，所以 \(2 c = 2\sqrt { 7 }\) ，
故选： \(D\) ．
①本题处理数量积的方法是坐标法，设点 \(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\) ，得 \(\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } }= x _ { 0 } ^ { 2 } - 7 k ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 }\) ；
②做到 \(\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } }= x _ { 0 } ^ { 2 } - 7 k ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 }\) ，其中 \(k\) 为参数， \(x _ { 0 } , y _ { 0 }\) 为变量，而点 \(P\) 在双曲线上，满足 \(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\) ，故可消元得到 \(\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } }= \dfrac { 7 } { 4 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 0k^2\) ，此时用函数方法求最小值，要注意自变量 \(x_0\) 的取值范围;
③利用函数法求最值，一定要谨记“优先考虑定义域”！

【典题3】 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(\angle B A C = 120 ^ { \circ }\) ，其内切圆与 \(AC\) 边相切于点 \(D\) ，延长到 \(BA\) ，使 \(BE=BC\) ，连接 \(CE\) ，设以 \(E,C\) 为焦点且经过点 \(A\) 的椭圆的离心率为 \(e_1\) ，以 \(E,C\) 为焦点且经过点 \(A\) 的双曲线的离心率为 \(e_2\) ，则当 \(\dfrac { 2 } { e _ { 1 } } + \dfrac { 1 } { e_ 2 }\) 取最大值时， \(\dfrac { A D } { D C }\) 的值为 \(\underline{\quad \quad}\) ．
如图，设 \(M,G\) 分别是 \(BC,BE\) 与圆的切点．
由圆的切线性质，
可设 \(A G = A D = 1 , \quad C D = C M = G E = m , \quad ( m \gt 1 )\) ，
在 \(\triangle AEC\) 中，
\(C E ^ { 2 } = C A ^ { 2 } + A E ^ { 2 } - 2 C A \cdot E A \cos 60 ^ { \circ } =m ^ { 2 } + 3\)
所以 \(C E = \sqrt { m ^ { 2 } + 3 }\) ，
所以 \(e _ { 1 } = \dfrac { \sqrt { m ^ { 2 } + 3 } } { 2 m }\) ， \(e _ { 2 } = \dfrac { \sqrt { m ^ { 2 } + 3 } } { 2 }\) ，
则 \(\dfrac { 2 } { e _ { 1 } } + \dfrac { 1 } { e _ { 2 } } = \dfrac { 4 m + 2 } { \sqrt { m ^ { 2 } + 3 } } = \sqrt { \dfrac { 16 m ^ { 2 } + 16 m + 4 } { m ^ { 2 } + 3 } }\) ;
令 \(f ( m ) = \dfrac { 16 m ^ { 2 } + 16 m + 4 } { m ^ { 2 } + 3 } = 16 + 4 \cdot \dfrac { 4 m - 11 } { m ^ { 2 } + 3 }\) ,
设 \(t = 4 m - 11\) ，则 \(m = \dfrac { t + 11 } { 4 }\) ,
所以 \(\dfrac { 4 m - 11 } { m ^ { 2 } + 3 } = \dfrac { t } { \dfrac { t } { 16 } + 3 } = \dfrac { 16 t } { t ^ { 2 } + 22 t + 169 } = \dfrac { 16 } { t + \dfrac { 169 } { t } + 22 } \leq \dfrac { 16 } { 26 + 22 } = \dfrac { 1 } { 3 }\)
当 \(t=13\) ,即 \(m=6>1\) 时取到等号，
所以 \(f ( m ) = 16 + 4 \cdot \dfrac { 4 m - 11 } { m ^ { 2 } + 3 } \leq \dfrac { 52 } { 3 }\) ，
所以当 \(m=6\) 时， \(\dfrac { 2 } { e _ { 1 } } + \dfrac { 1 } { e_ 2 }\) 取最大值 \(\sqrt { \dfrac { 52 } { 3 } }\) ，此时 \(\dfrac { A D } { D C } = \dfrac { 1 } { 6 }\) ,
①本题中没给出任一线段长度，设 \(AG=1\) ，可减少计算量；
②本题求最值采取函数法，这是 \(\dfrac { a _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 1 } x + c _ { 1 } } { a _ { 2 } x ^ { 2 } + b _ { 2 } x + c _ { 2 } }\) 型的函数最值问题,此类题目常考.

1 (★★) 已知 \(F_1 、F_2\) 是双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的左右焦点，以 \(F_2\) 为圆心， \(a\) 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 \(A，B\) 两点，若 \(|AB|>\dfrac {|F_1 F_2 |}{2}\) ，则双曲线的离心率的取值范围是 \(\underline{\quad \quad}\) ．

2 (★★) 设双曲线 \(\dfrac{x^2}{16} -\dfrac{y^2}{12}=1\) 的左、右焦点分别为 \(F_1，F_2\) ，过 \(F_1\) 的直线 \(l\) 交双曲线左支于 \(A，B\) 两点，则 \(|AF_2 |+|BF_2 |\) 的最小值为 \(\underline{\quad \quad}\) ．

3 (★★) 已知 \(F_1，F_2\) 分别是双曲线 \(C:\dfrac{x^2}{4} -\dfrac{y^2}{3}=1\) 的左，右焦点，动点 \(A\) 在双曲线的左支上，点 \(B\) 为圆 \(E：x^2+(y+3)^2=1\) 上一动点，则 \(|AB|+|AF_2 |\) 的最小值为 \(\underline{\quad \quad}\) ．

4 (★★★) 设双曲线 \(C:\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的左、右焦点分别为 \(F_1，F_2\) ， \(|F_1 F_2 |=2c\) ，过 \(F_2\) 作 \(x\) 轴的垂线，与双曲线在一第象限的交点为 \(A\) ，点 \(Q\) 坐标为 \((c,\dfrac {3a}{2})\) 且满足 \(|F_2 Q|>|F_2 A|\) ，若在双曲线 \(C\) 的右支上存在点 \(P\) 使得 \(|PF_1 |+|PQ|<\dfrac{7}{6}|F_1 F_2|\) 成立，则双曲线 \(C\) 的离心率的取值范围是 \(\underline{\quad \quad}\) ．

5 (★★★) 双曲线 \(C：\dfrac{x^2}{4}-y^2=1\) 的左，右顶点分别是 \(A_1，A_2\) ， \(P\) 是 \(C\) 上任意一点，直线 \(PA_1，PA_2\) 分别与直线 \(l：x=1\) 交于 \(M，N\) ，则 \(|MN|\) 的最小值是 \(\underline{\quad \quad}\) ．

6 (★★★) 已知双曲线 \(C:\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的左右焦点为 \(F_1 (－2,0),F_2 (2,0)\) ，点 \(P\) 是双曲线上任意一点，若 \(\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2}\) 的最小值是 \(－2\) ，则双曲线 \(C\) 的离心率为 \(\underline{\quad \quad}\) ．

7 (★★★) 已知双曲线 \(C：\dfrac{x^2}{4}-y^2=1\) ， \(F_1，F_2\) 分别为双曲线的左右焦点， \(P(x_0,y_0)\) 为双曲线 \(C\) 上一点，且位于第一象限，若 \(△PF_1 F_2\) 为锐角三角形，则 \(y_0\) 的取值范围为 \(\underline{\quad \quad}\) ．

8 (★★★) 设双曲线 \(C:\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的右焦点为 \(F\) ，双曲线 \(C\) 的一条渐近线为 \(l\) ，以 \(F\) 为圆心的圆与 \(l\) 交于点 \(M，N\) 两点， \(MF⊥NF\) ， \(O\) 为坐标原点， \(\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{ON}(3\leq\lambda\leq7)\) ，则双曲线 \(C\) 的离心率的取值范围是 \(\underline{\quad \quad}\) ．