CD^2+ a^2 = AD^2；
CD^2 + b^2 = BD^2；
AD^2 + BD^2 = AB^2 =（a+b）^2
于是有：CD^2+ a^2 + CD^2 + b^2= a^2+b^2+2ab等式两边化简，得：CD^2= ab即：CD= √ab。另外，由上图可见，（a +b）/2 ≥ √ab（仅当DD’为直径时相等）。问题得以证明。
算术平均数 vs 几何平均数
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首先明确一点，几何平均数和算数平均数其实都是一种衡量平均水平的统计方法，之所以计算方法有差别，是因为数据类型的不同导致。
无论任何平均数，其意义都是：对于数列用某一个常数A将数列中的每一项替换，形成的新数列结果上与旧数列等效。这个常数A，就是数列An的平均数。
那么什么时候用算数平均数什么时候用几何平均数呢，我们来考虑以下的情形：你发现最近二师兄（猪肉）身价猛涨，于是投入了10万元本金开始卖猪肉，果然第一年赚得盆满钵满的，赚了5万元，本金变成了10+5=15万元。但是好景不长，商品的供需周期的变化，第二年的时候很多猪肉供应商开始进入猪肉市场，供应的大量增加导致猪肉价格快速下跌，第二年亏了7.5万元，本金变成了15-7.5=7.5万元。
现在我们想计算下述两个平均数：
1. 两年利润的平均数
这种类型的平均数最终结果是一个和，第一年利润是5万元，第二年利润是-7.5万元，最终结果是亏了2.5万元，年均亏1.25万元。
两年赚的钱构成的数列{A1,A2}
根据平均数的定义，为构造一个数列与其等效{A,A}
那么这个等效数列
万元
也就是第一年赚5万元并且第二年亏7.5万元和两年都亏1.25万元等效。
2. 两年本金变化的平均数
这种类型的平均数最终结果是一个积，第一年初本金是10万元，第一年末变成15万元增长到了1.5倍，第二年末变成7.5万元下降到了0.5倍。
两年本金增长倍数{A1,A2}
根据平均数的定义，为构造一个数列与其等效{A,A}
那么这个等效数列
也就是第一年本金增长到1.5倍并且第二年下降到0.5倍和两年都下降到0.87倍等效。
总结来说，当数据最终结果是一个和时，用算术平均数更合适，当数据最终结果是一个积时，用几何平均数更加合适。所以一般在算增长率的时候，用几何平均数更加合适。
算术平均数
几何平均数
注意几何平均数里如果是增长率的话用的公式是
例如上述例题中增长率
如果平均数用得不合适，容易导致荒谬的结论。
举个例子，假如一只股票价格第一年初价格为10元，第一年增长了100%变成了20元，第二年下降了50%变成了10元，在算平均增长率时
几何平均数
算数平均数
几何平均数才是更加合理的答案，因为这个股票第一年初价格为10元，第二年末价格也是10元，增长率为0%，算术平均数算出来的75%就显得很荒谬。
-
平均数还有一种叫做调和平均数，计算公式为：
-
适用的例子是我们初中物理中学到的并联电路中各个并联电阻构成的电路总电阻的计算。各电阻为A1,A2,…,An并联和A,A,…,A并联构成的电路总电阻等效。
-
根据不等式的性质可以证明：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数
算数平均数、调和平均数、几何平均数的计算方法与应用场合 - 知乎 (zhihu.com)
几何平均数 | Notes (zhayes.github.io)
算术平均值是一个良好的集中量数，具有反应灵敏、确定严密、简明易解、计算简单、适合进一步演算和较小抽样变化的影响等特点。分为数学调和平均数（数值倒数的平均数的倒数）和统计调和平均数（计算结果与加权算术平均数完全相等）。计算总水平、总成果等所有阶段、所有环节水平、成果的连乘积总和时，求各阶段、各环节的一般水平、一般成果，要使用几何平均法计算几何平均数。又称均值，是统计学中最基本，最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。1、调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大值的影响更大。
4. 调和平均数:
注意: 算术平均数、调和平均数、几何平均数是三种不同形式的平均数，分别有各自的应用条件。进行统计研究时，适宜采用算术平均数时就不能用调和平均数或几何平均数，适宜用调和平均数时，同样也不能采用其他两种平均数。
但从数量关系来考虑，如果用同一资料（变量各值不相等）计算以上三种平均数的结果是：
一、算数平均数
算数平均数分为简单算数平均数与加权算术平均数。
简单算术平均：主要用于未分组的原始数据。设一组数据为x1x_1x1、x2x_2x2、x3x_3x3、…、xkx_kxk，得到简单算数平均M=x1+x2+x3+⋅⋅⋅+xkkM=\frac{x_1+x_2+x_3+···+x_k}{k}M=kx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xk
加权算术平均：主要用于处理经分组整理的
调和平均数=na1+a2+⋯+an调和平均数=\frac{n}{a_1+a_2+\dots+a_n}调和平均数=a1+a2+⋯+ann
几何平均数=a1∗a2∗⋯∗ann几何平均数=\sqrt[n]{a_1*a_2*\dots*a_n}几何平均数=na1∗a2∗⋯∗an
算术平均数=a1+a2+⋯+ann算术平均数=\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}算术平均数=na1+a2+⋯+an
输入数据有若干行。每行上有若干个（不超过20个）双精度浮点型数据，对应一种情形。
对于每一种情形，先输出"Case #: "（#为序号，从1起），然后参照输出样例输出数据的项数、算术平均数、几何平均数（保留2位小数）。
样例输入1
-1 2 -3 4 -5
-1 2 -3 4
-1 2 3 4
样例输出1
Case 1: (5), -0.60, -2.61
Case 2: (4), 0.50, 2.21
Case 3: (4
调和平均数和算术平均数是两种不同的统计平均概念，它们主要用于衡量一组数值的集中趋势，但侧重点不同：
1. **算术平均数**[^4]（Arithmetic Mean）是最常见的平均数计算方式，它将所有数值相加后再除以数值的数量。对于一组正数，它给出了所有数值的简单平均。例如，如果有一组数据 \( x_1, x_2, ..., x_n \)，算术平均数 \( \bar{x} \) 计算为：
```equation
\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}
2. **调和平均数**（Harmonic Mean）则主要用于那些涉及比率或速度等具有反比例关系的数据。当个体之间的比例关系对平均值有影响时，调和平均数更有意义。比如，平均速度问题中，如果你想知道一组物体通过相同距离所需时间的平均值，就应使用调和平均数。调和平均数公式为：
```equation
H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}
简单来说，算术平均数强调的是数值的集中趋势，而调和平均数更关注于数据的对比关系。如果数据中存在极端值（如某个值远远大于其他值），算术平均数可能会被拉高或拉低，而调和平均数则会更均衡地反映整体的平均速度或比率。
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