常微分方程(ODE) ：若未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE) 。
一般的 n 阶常微分方程 的形式(也称隐式表达式)为
u+x\cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=φ(u) \implies \cfrac{\mathrm{d}u}{φ(u)-u}=\cfrac{\mathrm{d}x}{x} u + x d x d u ​ = φ ( u ) ⟹ φ ( u ) − u d u ​ = x d x ​
得到可分离变量的微分方程，求隐式通解即可。

齐次方程等价形式 ：微分方程
d x d y ​ = − Q ( 1 , y / x ) P ( 1 , y / x ) ​ = φ ( x y ​ )
方程化为了齐次方程标准形式，齐次二字来源于齐次函数的定义，所以与齐次线性方程中的齐次不同。

可化为齐次的类型 I
\displaystyle y=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}[\int Q(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C] y = e − ∫ P ( x ) d x [ ∫ Q ( x ) e − ∫ P ( x ) d x d x + C ]

伯努利方程 ：形如
d x d y ​ = P ( x ) y 2 + Q ( x ) y + R ( x )
的微分方程称为 里卡蒂方程 (Riccati equation)。

这是形式上最简单的非线性方程，由十七世纪意大利数学家黎卡提提出来的，在1841年法国数学家刘维尔证明了黎卡提方程一般没有初等解法，即其解不能用初等函数以及初等函数的积分来表示。
但在特殊情况下，是可以求解的。

若已知黎卡提方程的一个特解，则该方程可以求解。
设 \begin{aligned} \cfrac{dy}{dx} &= \cfrac{dz}{dx}+\cfrac{d\tilde y}{dx}=P(x)(z+\tilde y)^2+Q(x)(z+\tilde y)+R(x)\\ &=P(x)z^2+2P(x)\tilde yz+Q(x)z+P(x)\tilde y^2+Q(x)\tilde y+R(x) \end{aligned} d x d y ​ ​ = d x d z ​ + d x d y ~ ​ ​ = P ( x ) ( z + y ~ ​ ) 2 + Q ( x ) ( z + y ~ ​ ) + R ( x ) = P ( x ) z 2 + 2 P ( x ) y ~ ​ z + Q ( x ) z + P ( x ) y ~ ​ 2 + Q ( x ) y ~ ​ + R ( x ) ​
由于 \cfrac{∂P}{∂y}=\cfrac{∂}{∂y}(\cfrac{∂F}{∂x})=\cfrac{∂^2F}{∂x∂y},\quad \cfrac{∂Q}{∂x}=\cfrac{∂}{∂x}(\cfrac{∂F}{∂y})=\cfrac{∂^2F}{∂y∂x} ∂ y ∂ P ​ = ∂ y ∂ ​ ( ∂ x ∂ F ​ ) = ∂ x ∂ y ∂ 2 F ​ , ∂ x ∂ Q ​ = ∂ x ∂ ​ ( ∂ y ∂ F ​ ) = ∂ y ∂ x ∂ 2 F ​
由P 和Q 具有连续一阶偏导数，可知上述混合偏导数连续且相等，因此必有 \begin{aligned} \cfrac{∂}{∂x}\left[Q-\cfrac{∂}{∂y}\int P(x,y)dx\right] &= \cfrac{∂Q}{∂x}-\cfrac{∂}{∂x}\left[\cfrac{∂}{∂y}\int P(x,y)dx\right] \\ &= \cfrac{∂Q}{∂x}-\cfrac{∂}{∂y}\left[\cfrac{∂}{∂x}\int P(x,y)dx\right] \\ &= \cfrac{∂Q}{∂x}- \cfrac{∂P}{∂y} \equiv 0 \end{aligned} ∂ x ∂ ​ [ Q − ∂ y ∂ ​ ∫ P ( x , y ) d x ] ​ = ∂ x ∂ Q ​ − ∂ x ∂ ​ [ ∂ y ∂ ​ ∫ P ( x , y ) d x ] = ∂ x ∂ Q ​ − ∂ y ∂ ​ [