如何证明调和算数几何平均值不等式？

先承认对数函数的 凸性 ，不承认我也没办法。

欲证A-G:

即证（不等式两边同取对数）

证完了。

这这这是是为什么呢，这就是因为对数函数的凸性。

再证明另一个不等式:

怎么办，再取对数？嗯，可以先取个倒数

再取对数，

证完了。

看出来了吗？看出来了吗？对，对，

只要把1/ak看成新的ak，那么这个式子与上面所证的A-G(算术-几何)不等式是一回事。

均值不等式的 根本性 证明请参考柯西大神的逆向归纳法，一般书上都会讲。用凸性说事其实相当于废话……但是凸性很有几何直观性。另外对数的凸性可以直接求二阶导数大于0得知，这一点也是光滑函数的好处。