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基本目的: 通过课程学习,了解来自古典数学及物理学的微分流形例子,掌握流形上的微积分的基本理论框架和技术。

内容提要: 打 (*) 号的部分 为选讲内容 ,如果课时紧张可能不会讲。

一、微分流形的基本概念和例子

微分流形的定义,球面、射影空间、古典李群、齐性空间、Riemann 流形、复流形等例子,光滑映射,浸入与淹没,光滑子流形,单位分解定理。

二、向量场

切空间、余切空间,向量场,光滑流形的定向,单参数变换群, Frobenius 定理,切向量场的李导数,李群及其李代数的基本概念,微分流形上的联络 、平行移动 协变 微分,Riemann 流形的 Levi- Civita 联络, 测地线,( *) 联络的 挠率和曲率。

三、外微分形式

张量代数,外代数,外微分形式,外微分运算,用 Pfaff 方程组表达的 Frobenius 定理,李群的结构方程,De Rham 理论简介,体积形式,外微分形式的第一型和第二型积分,Stokes 定理, ( *) Poincare 对偶定理,(*) Hodge 理论简介。

四、向量丛 和主丛 联络

向量丛,(*) 主丛,向量丛上的联络,(*) 主丛上的联络,(*) 联络的 曲率张量,(*) 关于示性类的 Chern -Weil 理论简介。

教学方式: 每周授课3

教材与参考书:

  • 陈省身、陈维桓著:微分几何讲义,北京大学出版社。
  • 陈维桓著:微分流形初步(第二版),高等教育出版社。
  • 白正国 、沈一兵、水乃翔著:黎曼几何初步(前两章),高等教育出版社。
  • 梅加强著 :流形与几何初步(前三章),科学出版社。
  • M. Spivak 著,齐民友、路见可译:流形上的微积分(双语版),人民邮电出版社。
  • B. A. Dubrovin , A. T. Fomenko , S. P. Novikov : Modern Geom etry - Methods and Applications , Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields,Springer.
  • 学生成绩评定方法: 作业成绩+期末考试成绩。

    课程 修订 负责人: 包志强