基本目的:
通过课程学习,了解来自古典数学及物理学的微分流形例子,掌握流形上的微积分的基本理论框架和技术。
内容提要:
打 (*) 号的部分
为选讲内容
,如果课时紧张可能不会讲。
一、微分流形的基本概念和例子
微分流形的定义,球面、射影空间、古典李群、齐性空间、Riemann 流形、复流形等例子,光滑映射,浸入与淹没,光滑子流形,单位分解定理。
二、向量场
切空间、余切空间,向量场,光滑流形的定向,单参数变换群,
Frobenius
定理,切向量场的李导数,李群及其李代数的基本概念,微分流形上的联络
、平行移动
和
协变
微分,Riemann 流形的 Levi-
Civita
联络,
测地线,(
*)
联络的
挠率和曲率。
三、外微分形式
张量代数,外代数,外微分形式,外微分运算,用 Pfaff 方程组表达的
Frobenius
定理,李群的结构方程,De
Rham
理论简介,体积形式,外微分形式的第一型和第二型积分,Stokes 定理,
(
*)
Poincare 对偶定理,(*) Hodge 理论简介。
四、向量丛
和主丛
的
联络
向量丛,(*) 主丛,向量丛上的联络,(*) 主丛上的联络,(*)
联络的
曲率张量,(*) 关于示性类的
Chern
-Weil 理论简介。
教学方式:
每周授课3
学
时
教材与参考书:
陈省身、陈维桓著:微分几何讲义,北京大学出版社。
陈维桓著:微分流形初步(第二版),高等教育出版社。
白正国
、沈一兵、水乃翔著:黎曼几何初步(前两章),高等教育出版社。
梅加强著
:流形与几何初步(前三章),科学出版社。
M.
Spivak
著,齐民友、路见可译:流形上的微积分(双语版),人民邮电出版社。
B. A.
Dubrovin
, A. T.
Fomenko
, S. P.
Novikov
:
Modern Geom
etry - Methods and Applications
,
Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields,Springer.
学生成绩评定方法:
作业成绩+期末考试成绩。
课程
修订
负责人:
包志强