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定义
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在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为
伯努利试验
。实际上，当n=1时，二项分布就是
伯努利分布
。
[2]
不同参数下的二项分布概率分布
期望方差
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期望的证明如下：
由于二项分布为n重伯努利试验成功次数的概率分布，且每次伯努利试验之间相互独立。我们可以将 X 表示为 n 个独立同分布的 0-1指示变量之和：
其中，
表示第 i 次试验是否成功，每个 服从伯努利分布：
因为
之间相互独立，期望具有可加性，
因此，二项分布的期望为
。
方差的证明如下：
同样地，令
每个
服从伯努利分布：
由于方差满足可加性（对于独立变量）：
由于
相互独立：
因此，二项分布的方差为
。
协方差
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E(XY)为当X和Y都等于1时的概率，而E(X)和E(Y)分别为X= 1和Y= 1的概率。定义
为X和Y都等于1的概率，便得到：
[2]
对于n次独立的试验，我们便有:
[2]
如果X和Y是相同的变量，便化为前文所述的的二项分布方差公式。
[2]
分布特点
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从图1中可以看出，对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少。可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且:
[1]
-
1.
当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值； [1]
-
2.
当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。 [1]
注：[x]为取整函数，即为不超过x的最大整数。
[1]
图1 二项分布概率分布
图2 二项分布概率分布
历史
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1. 早期赌博问题
意大利数学家卡达诺（G. Cardano, 1501-1576）在 1553 年开始研究 “点子问题”，即关于赌博中赌本如何公平分配的问题。他的研究思路是 “赌博重新开始”，卡达诺认为，赌本分配的公平性和二人最终取胜需赢得的局数有紧密关系。由于在此情况下公平赌博意味着双方所得的期望相等，因此赌注比例等于各自最终获胜概率比例的倒数。假设每局胜负的概率相同，从而推导出赌徒赢得最终胜利的概率
[4]
。虽然他的分配原则存在错误，但这一研究方法影响了后来的数学家们。
2. 帕斯卡与费尔马
17 世纪，法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662） 和费尔马（Pierre deFermat, 1601-1665） 通过通信共同解决了 “点子问题”，这成为概率论的奠基性研究之一
[4]
。
帕斯卡的方法之一是递归方法，即考虑当前状态下的概率如何影响最终结果。这一思路后来成为二项分布计算的基础。
3. 大数定律
詹姆斯·伯努利（Jacob Bernoulli, 1654-1705） 在他的著作 《推测的艺术》（Ars Conjectandi, 1713）中，对赌博问题进行了深入研究，并提出了 “大数定律”，这成为二项分布的核心理论之一
[4]
。在 《推测的艺术》 中，他证明了如果事件是独立重复试验，并且成功的概率固定，那么随着试验次数的增加，相对频率趋于稳定。这一理论的提出，使得二项分布在统计推断中具有了数学基础。
4.假设检验
阿布思诺特（John Arbuthnot, 1667-1735）在 1712 年发表论文 《神定法则：男女出生性别比例恒定的规律性》，首次将二项分布用于假设检验。阿布思诺特指出：
"如果数据显示的不仅是男性出生人数每年超过女性，而是男性始终以恒定比例多于女性；这种现象不仅出现在连续82年的伦敦数据中，而是年复一年持续存在，且在全球范围内普遍显现，那么这便构成了‘神圣法则’的证明。"
[4]
他利用二项分布对男性出生率是否等于 1/2 进行检验，提出原假设 P = 1/2，备择假设 P > 1/2，这是统计假设检验的早期雏形。
5. 棣莫弗的正态近似
棣莫弗（Abraham de Moivre, 1667-1754） 是二项分布发展的关键人物之一。他在 1733 年发表的论文 《Approximationad Summam Termonirum Binomii》 中，提出了二项分布的正态近似。他发现当二项分布的试验次数 n 很大时，可以用 正态分布近似二项分布：
这是中心极限定理的早期形式，使得二项分布的计算更加高效，奠定了现代概率统计的基础。
拓展
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泊松分布
在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，且乘积 λ=np比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近
[5]
。在这种条件下，将较难计算的二项分布近似为泊松分布去计算较为方便
[5-6]
。
泊松定理
泊松定理指出，在独立试验中，以
代表事件
在试验中出现的概率，它与试验总数
有关。如果
，当
时，二项分布的极限为泊松分布
[7]
。下面给出证明。
记
，
二项分布，则：
对给定的 k，有：
及
因此：
泊松分布公式为：
其中
是泊松分布的参数
[7]
。
正态近似
棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）中心极限定理是中心极限定理的一种特例，说明在 n 充分大的情况下，二项分布可以用正态分布近似。
具体来说，若
，当 n 足够大时，X 近似服从正态分布
：
对随机变量 X 进行标准化变换：
当
时，Z 近似服从标准正态分布
：
即：
