三维实李代数的Jacobi 恒等式与三角形的垂心

三维实李代数的Jacobi 恒等式与三角形的垂心

对于平面 \mathbb{R}^2 上三角形 \Delta ABC ， 我们取 A 为坐标原点, B 点的坐标为 (x_B,0) , C=(x,y) , 我们记
现在我们将三角形 \Delta ABC 嵌入到三维空间 \mathbb{R}^3 中， 于是 A=(0,0,0) , B=(x_B,0,0) , C=(x,y,0) ，且

注意， 这里显然的事实是 <[[a,b],c],c>=0 , 这就是说， [[a,b],c] 与 c 是垂直的. 不难计算 c 边上的高
这表明 [[a,b],c] 与 h_c 是平行的.

类似上面的讨论，我们知道 <[[b,c],a],a>=0 , 同时不难计算 a 上的高
类似计算有