一、参数估计基础-Z分布

在统计应用中，可以把任何一个均数为 $\mu$ ，标准差为 $\sigma$ 的正态分布 $N(\mu ,\sigma ^{2})$ 转变为 $\mu =0$ , $\sigma =1$ 的标准正态分布，即将正态变量值 $X$ 用 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$ 来代替，由于 $\overline{X}$ 服从正态分布，故 $Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma _{\overline{X}}}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，其中 $\sigma _{\overline{X}}$ 表示总体的标准差。

特点： 总体的标准差 $\sigma _{\overline{X}}$ 是一定的。

二、参数估计基础-t分布

实际资料的分析中，由于 $\sigma$ 往往未知，故标准化转换演变为： $\frac{\overline{X}-\mu }{S _{\overline{X}}}=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$ ，服从 $\nu =n-1$ 的 $t$ 分布，即： $t=\frac{\overline{X}-\mu }{S _{\overline{X}}}$ 。其中 $S$ 表示样本的标准差， $S/\sqrt{n}$ 表示标准误。

统计学家发现，t分布的分布性状是与和样本量息息相关的自由度相对应的。

t 分布曲线特点：

$t$ 分布曲线是单峰分布，它以0为中心，左右对称。
$t$ 分布的形状与样本例数 $n$ （自由度 $\nu=n-1$ ）有关。自由度越小，则 $S_{\overline{X}}$ 越大， $t$ 值越分散，曲线的峰部越矮，尾部则偏高。
当 $n\rightarrow +\infty$ 时，则 $S$ 逼近 $\sigma$ ， $t$ 分布逼近标准正态分布。
$t$ 分布不是一条曲线，而是一簇曲线。

三、参数估计基础-t转换和Z转换的不同

$Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma _{\overline{X}}}$ 转换标准误在一个固定的 $\sigma _{\overline{X}}$ 上实现的转换。
$t=\frac{\overline{X}-\mu }{S _{\overline{X}}}=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$ 转换是基于和每次抽样结果（ $S$ 为样本的标准差）有相关关系的标准差，所有相对于基于总体标准差来说，有一定的不确定性。

四、参数估计-点估计

用 样本统计量 直接作为总体参数的估计值。

例于2000年测得某地27例健康成年男性血红蛋白量的样本均数为125g/L，试估计其总体均数。

$\overline{X}\rightarrow \mu$ ，即认为2000年该地所有健康成年男性血红蛋白量的总体均数为125g/L 。

缺陷：用样本均值测算总体均值完全相等几乎是不可能的，所以我们用一个范围去估计总体参数所在的位置（区间估计）。

五、参数估计-区间估计

按预先给定的概率 $(1-\alpha )$ 估计总体参数的可能范围，该范围就称为总体参数的 $(1-\alpha )$ 置信区间 (confidence interval, CI) 。

预先给定的概率 $(1-\alpha )$ 称为 置信度 ，常取95%或99%。如无特别说明，一般取双侧95%。

置信区间由两个数值即 置信限 （下限和上限）构成。

置信水平 是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率（成功率）；而 置信区间 是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。置信区间越大，置信水平越高。

1、总体均数 $\left ( \mu \right )$ 的区间估计

以下是正态总体抽样得到的均数的分布规律，通过抽样得到的样本均数 $\overline{X}$ 和 $\mu$ 并不能原丝合缝的相等。

（1） $\sigma$ 已知

按标准正态分布原理计算，由 $Z$ 分布，标准正态曲线下有 95%的 $Z$ 值在±1.96之间。

$-1.96<\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma _{\overline{X}}}<1.96$ 简单运算之后转换为： $\overline{X}-1.96\sigma _{\overline{X}}<\mu <\overline{X}+1.96\sigma _{\overline{X}}$
95%的双侧置信区间： $(\overline{X}-1.96\sigma _{\overline{X}},\overline{X}+ 1.96\sigma _{\overline{X}})$

99%的双侧置信区间： $(\overline{X}-2.58\sigma _{\overline{X}},\overline{X}+2.58\sigma _{\overline{X}})$ ，99%的双侧置信区间

通式： $\overline{X}-Z_{\alpha/2}\sigma _{\overline{X}}$ （双侧）

（2） $\sigma$ 未知，样本例数 $n$ 足够大（ $n>50$ ）

由 $t$ 分布可知，自由度越大， $t$ 分布越逼近标准正态分布，此时 $t$ 曲线下有 95%的 $t$ 值在±1.96之间，即：

$-1.96<\frac{\overline{X}-\mu }{S_{\overline{X}}}<1.96$ 简单运算之后转换为： $\overline{X}-1.96S _{\overline{X}}<\mu <\overline{X}+1.96S_{\overline{X}}$ 。
95%的双侧置信区间： $(\overline{X}-1.96S_{\overline{X}},\overline{X}+ 1.96S _{\overline{X}})$

99%的双侧置信区间： $(\overline{X}-2.58S_{\overline{X}},\overline{X}+2.58S_{\overline{X}})$

通式： $\overline{X}-Z_{\alpha/2}S _{\overline{X}}$ （其中 $S_{\overline{X}}=S/\sqrt{n}$ ， $S$ 表示样本标准差， $n$ 表示样本含量， $S_{\overline{X}}$ 是基于样本标准差 $S$ 的标准误）（双侧）

例某市2000年随机测量了90名19岁健康男大学生的身高，其均数为172.2cm，标准差为4.5cm,，试估计该地19岁健康男大学生的身高的95%置信区间。

该市19岁健康男大学生的身高的95%置信区间(171.3,173.1) cm。

并不能说该市19岁健康男大学生的平均身高有95%的概率落在区间 (171.3,173.1)里！即不能说这个区间有95%的概率覆盖总体均数。

这是由于平均身高作为总体均值，它是一个常数（客观存在），因此当区间估计完成以后，区间(171.3,173.1)要么覆盖总体均数，要么不覆盖。也就是说，概率为0或1，不会出现其它的概率值。

在一次具体的估计完成之前，一定样本量下的区间估计方法，假如能够重复很多次的话，将有较多的次数，例如95%的次数会成功，有5%的次数会失败，因为在我们完成具体的计算之前，实际上 $(\overline{X}-1.96\sigma _{\overline{X}},\overline{X}+ 1.96\sigma _{\overline{X}})$ 这个区间估计的上边界和下边界都还是随机变化的。

例用大量来自同一总体的独立样本对总体均数做估计时，关于95%的置信区间（CI），正确的说法是：A

A.大约有95%的样本的CI覆盖总体均值

B.各个样本估计的CI是相同的

C.对于同一个CI而言，有95%的可能性覆盖总体均数————>>要么覆盖（100%），要么不覆盖（0%）

（3） $\sigma$ 未知，且样本例数 $n$ 较小（ $n< 50$ ）

由 $t$ 分布可知，此时某自由度的t曲线下约有 95%的 $t$ 值在 $\pm t_{0.05/2(\nu)}$ 之间，即：

95%的双侧置信区间： $(\overline{X}-t_{0.05/2(\nu)}S_{\overline{X}},\overline{X}+t_{0.05/2(\nu)}S_{\overline{X}})$

99%的双侧置信区间： $(\overline{X}-t_{0.01/2(\nu)}S_{\overline{X}},\overline{X}+t_{0.01/2(\nu)}S_{\overline{X}})$

通式： $\overline{X}-t_{\alpha /2(\nu)}S _{\overline{X}}$ （其中 $S_{\overline{X}}=S/\sqrt{n}$ ， $S$ 表示样本标准差， $n$ 表示样本含量， $S_{\overline{X}}$ 是基于样本标准差 $S$ 的标准误）（双侧）

例已知某地27例健康成年男性血红蛋白量的均数为 $\overline{X}=125g/L$ ，标准差 $S=15g/L$ ,试问该地健康成年男性血红蛋白量的95%和99%置信区间。

95%CI： $\overline{X}\pm t_{0.05/2(\nu)}S_{\overline{X}}=\overline{X}\pm t_{0.05/2(26)}\frac{15}{\sqrt{27}}=125\pm 2.056\times 2.38 = (119.06,130.94)g/L$

99%CI： $\overline{X}\pm t_{0.01/2(\nu)}S_{\overline{X}}=\overline{X}\pm t_{0.01/2(26)}\frac{15}{\sqrt{27}}=125\pm 2.779\times 2.38 = (116.98,133.02)g/L$

2、总体概率 $\left ( \pi \right )$ $（\pi ）$ 的区间估计

总体概率的置信区间与样本含量 $n$ 、阳性频率 $P$ (二项分布)的大小有关，可根据 $n$ 和 $P$ 的大小选择以下两种方法。

1、正态近似法

当样本含量足够大，且 $P$ 和 $1-P$ 不太小（通常 $\large n\pi$ 和 $\large n(1-\pi )$ 均 大于或等于5 ），则样本率的分布近似正态分布。

$P$ 为样本率， $S_{P}$ 为基于样本率的标准误， $S _{p}=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n-1}}\approx \sqrt{\frac{P(1-P)}{n }}$ 。

例：用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者94例，检出率为78.3%。估计该仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间。

分析：本例样本例数较大，且样本率 $P$ 不太小，可用正态近似法：

2、查表法

当 $n$ 较小，如 $n$ ≤50，特别是 $P$ 和 $1-P$ 接近0或1时，应按照二项分布的原理估计总体率的可信区间。

例某医院对39名前列腺癌患者实施开放手术治疗，术后有合并症者2人，试估计该手术合并症发生概率的95%置信区间。

通过查表，该手术合并症发生概率的95%置信区间为[1%,17%]

统计推断包括参数估计和假设检验。参数估计就是用样本指标（统计量）来估计总体指标（参数）。一、参数估计基础-Z分布在统计应用中，可以把任何一个均数为，标准差为的正态分布转变为,的标准正态分布，即将正态变量值用来代替，由于服从正态分布，故服从标准正态分布，其中表示总体的标准差。特点：总体的标准差是一定的。二、参数估计基础-t分布实际资料的分析中，由于往往未知，故标准化转换演变... u 分布：指标准正态分布，是以0为平均值，以1为标准差的正态分布 z 分布：泛指正态分布，是以u为平均值，以西格玛为标准差的正态分布。对于z 分布中的所有变量X，转换为（X-U）/西格玛时，其服从u 分布。即标准正态分布。 t 分布：t 分布的均值为0 （参考链接）：https://www.applysquare.com/topic-cn/TZVQpbknE/ 1》t 分布是正态分布的小样... 1.置信区间的计算根据总体分布（T 分布或者Z 分布）和规定的置信度计算总体均值在指定置信度下的置信区间，然后将实验值和置信区间比较，若在置信区间之外（小概率事件发生）则表示实验统计量和总体统计量存在显著差异 1.1 总体方差已知总体方差已知时，根据总体均值和方差，使用Z 分布计算置信区间，公式如下：表示样本均值常见的假设检验中，AB测试是最为出名的假设检验的过程，而需要深刻理解假设检验，先验知识统计量及其抽样分布的理解至关重要，这会为我们学习假设检验打下坚实的基础，本文章便是关于统计量及其抽样分布的讲解。 2. 统计量建议专业讲解和大白话结合一起看，更易理解。 2.1 专业讲解设X1, X2, ..., Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1, X2, ..., Xn)，不依赖参数空间：一个随机变量X的概率密度分布是已知的某种函数形式，该函数与未知参数有关，可能是Ω 集中的任意值。称集为参数空间。概率密度函数可写成如下形式，概率密度函数族可表示为，Ω 集称为参数空间。给定随机变量X，其分布特点服从某种规律性，如正态分布、二项分布，则其概率分布可写成函数形式，通常我们已知某个随机变量可能服从某种分布，这种分布就可以用概率密度函数族中的某一函数表示，而这一函数又与参数θ 有关。

一、 点估计 1. 点估计 就是用样本统计量来估计总体参数。概念理解：当我们想知道某一总体的某个指标的情况时，测量整体该指标的数值的工作量太大，或者不符合实际，这时我们可以采用抽样的方法选取一部分样本测量出他们数值，然后用样本统计量的值来估计总体的情况。例如：想了解一个学校学生的身高情况，就可以随机抽取一部分学生测量他们的身高，得到一个平均值，再用这个样本的均值去估计整体学生的身高情况，就是 点估计 ...

瑞利分布的 参数估计 通常使用最大似然估计法，即对给定的样本数据，选取能最大化该样本数据的概率的参数值作为估计值。设样本数据为{x1, x2, ..., xn}，则似然函数为： L(σ) = ∏(i=1)^n f(xi) = (∏(i=1)^n xi) / σ^(2n) * exp(-∑(i=1)^n xi^2 / (2*σ^2)) 对似然函数求导，得到： dL(σ)/dσ = -2n/σ + (∑(i=1)^n xi^2)/σ^3 令dL(σ)/dσ = 0，解得： σ = sqrt(∑(i=1)^n xi^2 / (2n)) 因此，瑞利分布参数σ的最大似然估计值为： σ_hat = sqrt(∑(i=1)^n xi^2 / (2n))