Dedekind切割 定理 ，以及用它证明确界存在 定理 Dedekind 分割 ：设A/BA/BA/B是 有理数 集合Q\mathbb QQ的一个切割，即将Q\mathbb QQ中的元素分为两个集合A,BA,BA,B，使得 ∀a∈A,b∈B,a<b. \forall a\in A, b\in B,\quad a<b. ∀a∈A,b∈B,a<b. 从逻辑上，存在以下四种基本情况： AAA中有最大数a0a_0a0​，BBB中有最小数b0b_0b0​； AAA中无最大数，BBB中有最小数b0b_0b0​； 在数学的 完备 实数系中，循环小数0.999…，也可写成 或 ，表示一个等于1的实数，即“0.999…”所表示的数与“1”相同。目前该等式已经有各式各样的证明式；它们各有不同的严谨 性 、背景假设，且都蕴含实数的实质条件，即阿基米德 公理 、历史文脉、以及目标受众。 这类展开式的非唯一 性 不仅限于十 标题无理数究竟是什么？连续 性 公理 的产物？——读 戴德金 之二 人类的进步轨迹，很大程度上可以从数学，特别是初等算术中的数字演化中看出点门道。虽说是地理大发现开启了世界的历史，但世界历史的进展似乎总是和算术的进步相关联。从时间节点来看，在15世纪开始航海时代的时候，恰好也是现代算术理论刚刚启动的年代。用美国学者丹齐克的话来描述，现代的算术，其历史还不到四百年。丹齐克出版那本《数 科学的语言》一书的时间是1930年，已经时过近百年矣。这岂不是在表明，现代算术的历史还不到500年么？大概和地理大发现时代处在同一个时间 谨以此文纪念杨振宁、李政道先生获得诺贝尔物理学奖60周年.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家 戴德金 从连续 性 的要求出发，用 有理数 的“ 分割 ”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机. 戴德金 分割 已知对于 戴德金 分割 ，把实数域拆分成两个均非空集A及A'，使能满足：情形1：每一实数必... 最近在看《什么是数学》，在看到第六章证明单调序列有界必有极限的证明时，发现还有另一种证明方法，需要了解 戴德金 分化的知识，所以又在图书馆找到了《 数学分析 原理》教材，学习 戴德金 分化知识。 中学教材中我们已经掌握 有理数 及其 性 质，由于初等数学的需要， 有理数 域的扩张成为必要。另一方面，我们举例 2√\sqrt{2}, 没有一个其平方能等于2的有理分数pqp\over{q}（pp与qq是两个自然 这两篇文章的主要目的是通过一个问题的证明，解释以下如何构造实数，以及实数的基本 性 质。问题：如何证明 ?(注意这里是集合势的严格大小关系，并不能简单通过列举实数比 有理数 多的某些无理数来说明。因为比如 有理数 是比自然数多得多，但是它们等势)接下来给出的证明过程主要是为了回答另一个相关的问题，主要证明策略是使用Cantor 定理 ,并依照 。其中 是因为， ,幂集保持等势关系不变。因此关键证明是， ... 参考http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8537620 参考 http://www.cnblogs.com/jerrylead 之前介绍了EM算法在混合高斯模型中的应用，现在让我们来看看问什么EM算法可以用于这类问题。 首先介绍一下Jensen 不等式Jensen 不等式我们知道，如果设 ff 是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数xx 大家的数学启蒙都是从哪儿开始的呢？大概都是从1,2,3开始的吧。有了数字作为基础，才会陆陆续续学会了公式，然后就真的开始学习了数学。直到后来，我们的数学能力发展一定程度之后，就发现，其实数学里的数字只有1,2,3是不够用的。于是出现了小数，分数，其中关于分数的研究，中国古人开创了先河，大约比欧洲早了1400多年。 数学都是从数字开始 有了分数之后，我们觉得还是不够用，为什么呢？有...     ​    ​当前，我们已经把“无穷小微积分基础”教学参考书用邮件投放到全国高校微积分任课老师手中，没有收到邮件的老师可以自行下载。     ​    ​此书第一章明确了超实数系统R*需要使用一组“ 公理 ”系统来引入。该 公理 系统一共有五条，其中最后两条属于数理逻辑模型论范畴。由此，展开了整个现代微积分学理论体系。     ​    ​反观我们国内，高校基础课微积分教课书几乎都是采用原苏联菲... 说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具，恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如果平面上有n个“Z”,平面最多可以 分割 为几部分呢？ 说明1：“Z”的两端应看成射线 说明2：“Z”的两条射线规定为平行的 分析：此题 给定的整数数组 A ，我们要将 A数组 中的每个元素移动到 B数组 或者 C数组中。(B数组和C数组在开始的时候都为空） 返回 true ，当且仅当在我们的完成这样的移动后，可使得B数组的平均值和C数组的平均值相等，并且B数组和C数组都不为空。 [1,2,3,4,5,6,7,8] 输出: true 解释: 我们可以将数组 分割 为 [1,4,5,8] 和 [2,3,6,7], 他们的平均值都是4.5。 A 数组的长度范围为 [1, 30]. A[i] 的数据范围为 [0, 10000] 哥德尔 定理 的背景知识1： 戴德金 的数观念——哥德尔逻辑与哲学之3 哥德尔的东西有点难度，但既然有了做的念头，也不能轻言放弃。有了这个目标，你就朝着这个目标逐渐逼近好了，即使到不了终点，在这个逼近的过程中，你总会有一些接触那些稀奇古怪符号的感受。虽说很多时候都是艰涩枯燥，但你也许正是在这种枯燥艰涩的逼近中，有可能学到一些抵抗这类枯燥的良方。在执着逼近的过程中，还可能有闪现灵光和文字魅力的时刻哩。只要有那么一点点，你的执着不就有了点收获，没有白费力气么？ Torkel的那本书，正在啃它的第二章：不完全 性 定理 的一个 有理数 结构p/q（p，q均为自然数）。 没有这样的 有理数 p/q，其平方能等于2。证明略过 研究数学问题，需要找出最少的基本 性 质，使其余的一切 性 质都能作为形式逻辑的结果而从之推出。 用字母a，b…来表示 有理数 2. 有理数 的序（第一组基本 性 质）。所谓相等的数就是同一数的不同形式。I 1°. 每一对数a与b之间必有且仅有下列关系之一