del2

离散拉普拉斯算子

语法


            
             L = del2(U)


            
             L = del2(U,h)


            
             L = del2(U,hx,hy,...,hN)

说明

示例

L = del2( U ) 在所有点之间使用默认间距 h = 1 ，返回应用于 U 的拉普拉斯微分运算子的离散近似值。

示例

L = del2( U , h ) 用于在 U 的所有维度中的点之间指定均匀的标量间距 h 。

示例

L = del2( U , hx,hy,...,hN ) 用于在 U 的每个维度中的点之间指定间距 hx,hy,...,hN 。将每个间距输入指定为坐标的标量或向量。间距输入数必须等于 U 中的维数。

第一个间距值 hx 指定点的 x 间距（标量）或 x 坐标（向量）。如果是向量，则其长度必须等于 size(U,2) 。
第二个间距值 hy 指定点的 y 间距（标量）或 y 坐标（向量）。如果是向量，则其长度必须等于 size(U,1) 。
所有其他间距值指定 U 中对应维度的各点的间距（标量）或坐标（向量）。对于 n > 2 的情况，如果第 n 个间距输入是向量，则其长度必须等于 size(U,n) 。

示例

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向量的第二个导数

打开实时脚本

根据位置数据的向量计算对象的加速度。

创建位置数据的向量。

p = [1 3 6 10 16 18 29];

要找出对象的加速度，请使用 del2 来计算 p 的第二个数值导数。在数据点之间使用默认间距 h = 1 。

L = 4*del2(p)

L = 1×7
     1     1     1     2    -4     9    22

L 的每个值是该点的即时加速度的近似值。

余弦向量的第二个导数

打开实时脚本

计算余弦向量的一维离散维拉普拉斯算子。

定义函数的域。

x = linspace(-2*pi,2*pi);

这会在 $- 2 π \leq x \leq 2 π$ 范围内生成 100 个等间距点。

在此域内创建余弦值的向量。

U = cos(x);

使用 del2 计算 U 的拉普拉斯算子。使用域向量 x 确定 U 中每个点的一维坐标。

L = 4*del2(U,x);

通过解析，此函数的拉普拉斯算子等于 $Δ U = - \cos (x)$ 。

绘制结果。

plot(x,U,x,L)
legend('U(x)','L(x)','Location','Best')

U 和 L 的图形与拉普拉斯算子的分析结果一致。

多元函数的拉普拉斯算子

打开实时脚本

计算并绘制多元函数的离散拉普拉斯算子。

定义函数的 x 和 y 域。

[x,y] = meshgrid(-5:0.25:5,-5:0.25:5);

在此域中定义 $U (x, y) = \frac{1}{3} (x^{4} + y^{4})$ 函数。

U = 1/3.*(x.^4+y.^4);

使用 del2 计算此函数的拉普拉斯算子。 U 中各点之间的间距在所有方向上都相等，因此只要指定一个间距输入 h 即可。

h = 0.25;
L = 4*del2(U,h);

通过解析，此函数的拉普拉斯算子等于 $Δ U (x, y) = 4 x^{2} + 4 y^{2}$ 。

绘制离散拉普拉斯算子 L 。

figure
surf(x,y,L)
grid on
title('Plot of $\Delta U(x,y) = 4x^2+4y^2$','Interpreter','latex')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(35,14)

L 的图形与拉普拉斯算子的分析结果一致。

自然对数函数的拉普拉斯算子

打开实时脚本

计算自然对数函数的离散拉普拉斯算子。

在实数网格上定义函数的 x 和 y 域。

[x,y] = meshgrid(-5:5,-5:0.5:5);

在此域中定义 $U (x, y) = \frac{1}{2} \log (x^{2} y)$ 函数。

U = 0.5*log(x.^2.*y);

当参量 y 为负值时，对数为复数值。

使用 del2 计算此函数的离散拉普拉斯算子。指定每个方向上的网格点之间的间距。

hx = 1; 
hy = 0.5;
L = 4*del2(U,hx,hy);

通过解析，拉普拉斯算子等于 $Δ U (x, y) = - (1 / x^{2} + 1 / 2 y^{2})$ 。此函数不在行 $x = 0$ 或 $y = 0$ 上定义。

将 U 和 L 的实部绘制在同一个图形上。

figure
surf(x,y,real(L))
hold on
surf(x,y,real(U))
grid on
title('Plot of U(x,y) and $\Delta$ U(x,y)','Interpreter','latex')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(41,58)

上曲面是 U ，下曲面是 L 。

输入参数

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`U` — 输入数组
向量 | 矩阵 | 多维数组

输入数组，指定为向量、矩阵或多维数组。

数据类型: single | double
复数支持: 是

`h` — 所有维度中的间距
`1` (默认) | 标量

所有维度中的间距，指定为 1 （默认值）或标量。

数据类型: single | double
复数支持: 是

`hx,hy,...,hN` — 每个维度中的间距（作为单独参量）
标量 | 向量

每个维度中的间距，指定为单独的标量（对于均匀间距）或向量（对于非均匀间距）参量。间距输入数必须等于 U 中的维数。每个间距输入定义 U 的一个维度中的点之间的间距：

第一个间距值 hx 指定点的 x 间距（标量）或 x 坐标（向量）。如果是向量，则其长度必须等于 size(U,2) 。
第二个间距值 hy 指定点的 y 间距（标量）或 y 坐标（向量）。如果是向量，则其长度必须等于 size(U,1) 。
所有其他间距值指定 U 中对应维度的各点的间距（标量）或坐标（向量）。对于 n > 2 的情况，如果第 n 个间距输入是向量，则其长度必须等于 size(U,n) 。

数据类型: single | double
复数支持: 是

输出参量

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`L` — 离散拉普拉斯算子近似值
向量 | 矩阵 | 多维数组

离散拉普拉斯算子近似值，以向量、矩阵或多维数组的形式返回。 L 与输入 U 的大小相同。

详细信息

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拉普拉斯微分运算子

MATLAB ^® 中的 del2 使用的拉普拉斯算子的定义取决于 U 中数据的维度。

如果 U 是表示函数 U(x) 的向量且该函数在一条直线的点位置进行计算，则 del2(U) 是下式的有限差分逼近

$L = \frac{Δ U}{4} = \frac{1}{4} \frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} .$
如果 U 是表示函数 U(x,y) 的矩阵且该函数在方形网格的点位置进行计算，则 del2(U) 是下式的有限差分逼近

$L = \frac{Δ U}{4} = \frac{1}{4} (\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}) .$
对于带有三个或更多变量的函数 U(x,y,z,...)，离散拉普拉斯算子 del2(U) 会计算每个维度中的第二个导数，

$L = \frac{Δ U}{2 N} = \frac{1}{2 N} (\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} U}{\partial z^{2}} + ...),$

其中 N 是 U 中的维数，且 $N \geq 2$ 。

算法

如果输入 U 是一个矩阵，则 L 的内部点通过取 U 中的点与其四个相邻点的平均值之间的差值找到：

$L_{i j} = [\frac{(u_{i + 1, j} + u_{i - 1, j} + u_{i, j + 1} + u_{i, j - 1})}{4} - u_{i, j}] .$

然后， del2 会通过线性外插第二个差分来从内部延伸计算 L 边界上的值。此公式会针对多维 U 进行扩展。

扩展功能

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

此函数完全支持 GPU 数组。有关详细信息，请参阅 Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox) 。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

此函数完全支持分布式数组。有关详细信息，请参阅 Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox) 。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

diff | gradient

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del2

语法

说明

示例

向量的第二个导数

余弦向量的第二个导数

多元函数的拉普拉斯算子

自然对数函数的拉普拉斯算子

输入参数

U — 输入数组 向量 | 矩阵 | 多维数组

h — 所有维度中的间距 1 (默认) | 标量

hx,hy,...,hN — 每个维度中的间距（作为单独参量） 标量 | 向量

输出参量

L — 离散拉普拉斯算子近似值 向量 | 矩阵 | 多维数组

详细信息

拉普拉斯微分运算子

算法

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成 使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组 使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

版本历史记录

另请参阅

`U` — 输入数组
向量 | 矩阵 | 多维数组

`h` — 所有维度中的间距
`1` (默认) | 标量

`hx,hy,...,hN` — 每个维度中的间距（作为单独参量）
标量 | 向量

`L` — 离散拉普拉斯算子近似值
向量 | 矩阵 | 多维数组

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。