为什么纤维丛理论如此重要？

>>> 为什么纤维丛理论如此重要？

因为这个概念及其性质广泛出现在物理中。为什么会广泛呢？因为这个概念十分简单基础，粗略就是有个空间（底），以及其上每一点都承载着另一个集合（纤维）。这决定了日常生活、理论物理中许多对象均可找到纤维丛的对应物。

比如一个普通实函数，可以看成一个实线丛的截面，一个复标量场，可以看成复线丛截面。一个旋量，看成旋量丛的截面等。“纤维丛”就像“映射”一样是个万金油，往哪套都行。

所以说纤维丛的“应用”太多了，其实已经不应该称为“应用”了。这个概念根深蒂固地嵌入到了现代理论物理之中，就像集合、矩阵、矢量一样，是数学物理的语言的一个音节。

>>> 我的问题是，除了作为描述规范对称性的数学结构之外，纤维丛是否还有在其它方面的应用？
纤维丛有无数物理应用，但是大部分都以规范场论作为最底层的载体。一个物理问题不夹杂任何规范理论其中的话，大概可以不提纤维丛这么花哨的名字。

即使接受“局限于杨米尔斯规范场论与各类物质的耦合”这个设定，应用仍然十分宽广。尤其是：弯曲空间上的规范场论，以及要求在无穷远处场强为零的 \mathbb{R}^k 上的规范场论。下面列举常见的“应用”（A类为不涉及超对称，B类为涉及超对称）：

A1）狄拉克磁单极子<------>看似 R^3 实质 S^2 上的 U(1) 主丛/复线丛的陈数；

A2）规范场取整体规范的可行性问题，Gribov 问题 <------> \mathcal{G} 主丛 \[{\cal G} \to {\cal A} \to {\cal M}\] （规范变换群 --> 全体规范场 --> 规范模空间）的平凡性判定；

A3）瞬子与涡旋：

- 瞬子数<------> R^4 上 U(N) 主丛的拓扑数

- 瞬子的 模空间（ 全体瞬子构成的空间 ） 维度<------>R^4 上 狄拉克算符的指标

- 涡旋数 <------> C 上复线丛的拓扑数

- 涡旋解 <------> C 上复线从的全纯截面；

A4）量子反常：

- Fujikawa 方法 <------> S^4 狄拉克算符的指标以及瞬子数

- 规范反常（受规范场影响的费米子有效作用量的规范不变性判定）<------> 规范模空间 \mathcal{M} 上 Cech 上同调判定；

B1）弯曲空间上是否可以定义超对称 <------> 某类旋量微分方程组是否有解 <------> 弯曲空间上Hermitian 结构和横向全纯结构的存在性

B2）1+1 维超对称 Sigma 模型的指标 \text{Tr}(-1)^F 与目标流形的欧拉示性数（即其切丛的欧拉示性数）

B3)（Donaldson-Witten理论）4 维弯曲空间 M 上的一类 N=2 超对称规范场论的各种关联函数 <------> （定义在 M 上的瞬子的）模空间上同调 <------> M 的微分同胚不变量；

B4)（Seiberg-Witten理论）4 维弯曲空间 M 上的一类 N=2 超对称理论的最小作用量位形 <------> M 一族非常特殊的旋量解构成的模空间 <------> M 的微分同胚不变量；

以上提到弯曲空间上的东西，纤维丛隐藏在：

1）弯曲空间 M 的几何需要用一些张量场（度规 g_{\mu\nu} ，复结构 J_{\mu\nu} ，切触结构 \kappa_{\mu}, R^\mu,\Phi{^\mu}{_\nu} ）来定义，这些场继而导致空间上的切丛和外代数丛携带更精细的结构；

2）所有的场（动态的规范场、背景的规范场、旋量场、标量场）等都应该是相应矢量丛的截面

3）所有的微分方程都是截面方程；

4）这些微分方程的解本身就隐藏了相应矢量丛的拓扑结构；

5）这些微分方程的全体解构成更神秘的模空间 \cal{M} ；

6） \cal{M} 的拓扑性质（同调与上同调等）以及 \cal{M} 上 其他纤维丛 的拓扑性质反过来与 M 的性质纠缠在一起。

参考文献 ：

[0] 梁灿斌，微分几何入门与广义相对论

[0] 侯伯元，侯伯宇，物理学 家用微分几何（由浅入深，深不见底（许多术语中文翻译看着尤其别扭））

[1] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Second Edition (Graduate Student Series in Physics)（由浅入深，基础全面）

[2] Bertlmann, Anomalies in Quantum Field Theory（量子反常相当详细的介绍，偏几何）

[3] Hori, Katz, Klemm, et.al, Mirror Symmetry（大黄书，可以跳过数学部分，直接看物理部分，开头几章通俗易懂，以 2 维场论为主要内容）

[4] Witten 的老论文，Donaldson 的老论文，近10年 Pestun, Nekrasov, Gaiotto, Benini组, Hosomichi组, Dumitrescu组, Pasquetti组, Drukker组等 无数前辈 关于 supersymmetric partition function 的计算和结果分析，以及Superconformal Index 的计算（不熟）。