bm

布朗运动 ( BM ) 模型

说明

创建并显示布朗运动（有时称为 算术布朗运动 或 广义维纳过程 ）的 bm 对象，该对象来源于 sdeld （以线性形式表示漂移率的 SDE）类。

使用 bm 对象模拟 NVars 个状态变量（由 NBrowns 个风险源驱动）在 NPeriods 个连续观测周期内的样本路径，以便逼近连续时间布朗运动随机过程。这使您能够将 NBrowns 个不相关、零漂移、单方差率布朗分量的向量转换为具有任意漂移、方差率和相关性结构的 NVars 个布朗分量的向量。

使用 bm 模拟以下形式的任意向量值布朗运动过程：

$d X_{t} = μ (t) d t + V (t) d W_{t}$

其中：

X _t 是过程变量的 NVars × 1 状态向量。
μ 是 NVars × 1 漂移率向量。
V 是 NVars × NBrowns 瞬时波动率矩阵。
dW _t 是（可能）相关的零漂移/单位方差率布朗分量 NBrowns × 1 向量。

语法


             
              BM = bm(Mu,Sigma)


             
              BM = bm(
              
               ___
              
              ,Name,Value)

描述

BM = bm( Mu , Sigma ) 创建一个默认的 BM 对象。

将所需的输入参数指定为以下类型之一：

MATLAB ^® 数组。指定数组表示静态（非时变）参数设定。此数组完全捕获与参数形式明显相关的所有实现细节。
MATLAB 函数。指定函数可为几乎任何静态、动态、线性或非线性模型提供间接支持。此参数通过接口支持，因为所有实现细节都隐藏并被函数完全封装。

注意

您可以根据需要指定数组和函数输入参数的组合。

此外，如果函数接受标量时间 t 作为其唯一输入参量，则将参数识别为时间的确定性函数。否则，系统将假定参数为时间 t 和状态 X(t) 的函数，并使用两个输入参量调用。

BM = bm( ___ , Name,Value ) 使用由一个或多个 Name,Value 对组参量指定的其他选项创建一个 bm 对象。

Name 是属性名称， Value 是其对应的值。 Name 必须放在单引号 ( '' ) 内。您可以按任意顺序指定多个名称-值对组参量，如 Name1,Value1,…,NameN,ValueN

BM 对象具有以下属性：

StartTime - 初始观测时间
StartState - StartTime 时的初始状态
Correlation - Correlation 输入参量的访问函数，可作为时间的函数进行调用
Drift - 复合漂移率函数，可作为时间和状态的函数进行调用
Diffusion - 复合扩散率函数，可作为时间和状态的函数进行调用
Simulation - 模拟函数或方法

输入参量

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`Mu` — `Mu` 表示参数 μ
数组或时间的确定性函数 | 时间和状态的确定性函数

Mu 表示参数 μ ，指定为数组或时间的确定性函数。

如果您指定 Mu 为数组，它必须是一个 NVars × 1 列向量，表示漂移率（预期的瞬时漂移率，也就是时间趋势）。

作为时间的确定性函数，当以实数值标量时间 t 作为唯一输入调用 Mu 时， Mu 必须生成一个 NVars × NVars 矩阵。如果您指定 Mu 为时间和状态的函数，它将计算预期的瞬时漂移率。当使用下面两个输入调用该函数时，该函数必须生成一个 NVars × 1 列向量：

实值标量观测时间 t 。
NVars × 1 状态向量 X _t 。

数据类型: double | function_handle

`Sigma` — `Sigma` 表示参数 V
数组或时间的确定性函数 | 时间和状态的确定性函数

Sigma 表示参数 V ，指定为数组或时间的确定性函数。

如果您指定 Sigma 为数组，它必须是一个 NVars × NBrowns 瞬时波动率矩阵或作为时间的确定性函数。在本例中， Sigma 的每行都对应于一个特定的状态变量。每列对应于一个特定的布朗不确定性源，并将状态变量的敞口量级与不确定性源相关联。

作为时间的确定性函数，当以实数值标量时间 t 作为唯一输入调用 Sigma 时， Sigma 必须生成一个 NVars × NBrowns 矩阵。如果您指定 Sigma 为时间和状态的函数，则在使用下面两个输入调用它时，必须返回一个 NVars × NBrowns 波动率矩阵：

实值标量观测时间 t 。
NVars × 1 状态向量 X _t 。

虽然 gbm 构造函数对 Sigma 波动率的符号未施加任何限制，但它们需要指定为正值。

数据类型: double | function_handle

属性

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`StartTime` — 首次观测的开始时间，应用于所有状态变量
`0` (默认) | 标量

首次观测的开始时间，应用于所有状态变量，指定为数值。

数据类型: double

`StartState` — 状态变量的初始值
`1` (默认) | 标量、列向量或矩阵

状态变量的初始值，指定为标量、列向量或矩阵。

如果 StartState 是一个标量，则 bm 在所有试验中对所有状态变量应用相同的初始值。

如果 StartState 是一个列向量，则 bm 在所有试验中对每个状态变量应用唯一的初始值。

如果 StartState 是一个矩阵，则 bm 在每次试验中对每个状态变量应用唯一的初始值。

数据类型: double

`Correlation` — 为生成布朗运动向量（维纳过程）而抽取的高斯随机变量之间的相关性
`NBrowns` × `NBrowns` 单位矩阵，表示独立高斯过程 (默认) | 半正定矩阵 | 确定性函数

为生成布朗运动向量（维纳过程）而抽取的高斯随机变量之间的相关性，指定为 NBrowns × NBrowns 半正定矩阵或确定性函数 C(t) ，接受当前时间 t 并返回 NBrowns × NBrowns 半正定相关矩阵。如果 Correlation 不是对称半正定矩阵，则使用 nearcorr 为相关矩阵创建半正定矩阵。

Correlation 矩阵表示静态条件。

作为时间的确定性函数， Correlation 允许您指定动态相关结构体。

数据类型: double

`Simulation` — 用户自定义的模拟函数或 SDE 模拟方法
欧拉逼近模拟 ( `simByEuler` ) (默认) | 函数 | SDE 模拟方法

用户自定义的模拟函数或 SDE 模拟方法，指定为函数或 SDE 模拟方法。

数据类型: function_handle

`Drift` — 连续时间随机微分方程 (SDE) 的漂移率分量
漂移率函数存储的值 (默认) | 漂移对象或函数可由 ( t , X _t ) 访问

此属性为只读。

连续时间随机微分方程 (SDE) 的漂移率分量，指定为可由 ( t , X _t ) 访问的漂移对象或函数。

漂移率设定支持模拟 NVars 个状态变量（由 NBrowns 个布朗运动风险源驱动）在 NPeriods 个连续观测周期内的样本路径，逼近连续时间随机过程。

drift 类允许使用以下形式的 drift 创建漂移率对象：

$F (t, X_{t}) = A (t) + B (t) X_{t}$

其中：

A 是一个 NVars × 1 向量值函数，可使用 ( t , X _t ) 接口访问。
B 是一个 NVars × NVars 矩阵值函数，可使用 ( t , X _t ) 接口访问。

drift 对象显示的参数是：

Rate :漂移率函数 F(t,X _t )
A : F(t,X _t ) 的截断项 A(t,X _t )
B : F(t,X _t ) 的一阶项 B(t,X _t )

A 和 B 让您可以查询原始输入。存储在 Rate 中的函数完全封装了 A 和 B 的组合效果。

当指定为 MATLAB 双精度数组时，输入 A 和 B 显然与线性漂移率参数式相关联。然而，指定 A 或 B 为函数，几乎可以让您自定义任何漂移率设定。

注意

您可以采用最一般的形式来表达 drift 和 diffusion 类，以突出 ( t , X _t ) 函数式接口。不过，在指定分量 A 和 B 时，可以将其指定为支持通用 ( t , X _t ) 接口，也可以指定为具有适当维度的 MATLAB 数组。

示例: F = drift(0, 0.1) % Drift rate function F(t,X)

数据类型: object

`Diffusion` — 连续时间随机微分方程 (SDE) 的扩散率分量
从扩散率函数存储的值 (默认) | 可由 ( t , X _t ) 访问的扩散对象或函数

此属性为只读。

连续时间随机微分方程 (SDE) 的扩散率分量，指定为可由 ( t , X _t ) 访问的漂移对象或函数。

扩散率设定支持模拟 NVars 个状态变量（由 NBrowns 个布朗运动风险源驱动）在 NPeriods 个连续观测周期内的样本路径，逼近连续时间随机过程。

diffusion 类允许使用 diffusion 创建扩散率对象：

$G (t, X_{t}) = D (t, X_{t}^{α (t)}) V (t)$

其中：

D 是一个 NVars × NVars 对角矩阵值函数。
D 的每个对角元素是状态向量对应元素的 Alpha 指数次幂，该指数是一个 NVars × 1 向量值函数。
V 是一个 NVars × NBrowns 矩阵值波动率函数 Sigma 。
Alpha 和 Sigma 也可以使用 ( t , X _t ) 接口访问。

diffusion 对象显示的参数是：

Rate :扩散率函数 G(t,X _t ) 。
Alpha :状态向量指数，决定了 G(t,X _t ) 的 D(t,X _t ) 的格式。
Sigma : G(t,X _t ) 的波动率 V(t,X _t ) 。

Alpha 和 Sigma 让您可以查询原始输入。（单个 Alpha 和 Sigma 参数由存储在 Rate 中的函数完全封装。） Rate 函数是 drift 和 diffusion 对象的计算引擎，而这一函数是模拟所需的唯一参数。

注意

示例: G = diffusion(1, 0.3) % Diffusion rate function G(t,X)

数据类型: object

对象函数

`interpolate`	Brownian interpolation of stochastic differential equations (SDEs) for `SDE` , `BM` , `GBM` , `CEV` , `CIR` , `HWV` , `Heston` , `SDEDDO` , `SDELD` , or `SDEMRD` models
`simulate`	Simulate multivariate stochastic differential equations (SDEs) for `SDE` , `BM` , `GBM` , `CEV` , `CIR` , `HWV` , `Heston` , `SDEDDO` , `SDELD` , `SDEMRD` , `Merton` , or `Bates` models
`simByEuler`	Euler simulation of stochastic differential equations (SDEs) for `SDE` , `BM` , `GBM` , `CEV` , `CIR` , `HWV` , `Heston` , `SDEDDO` , `SDELD` , or `SDEMRD` models
`simByMilstein`	Simulate diagonal diffusion for `BM` , `GBM` , `CEV` , `HWV` , `SDEDDO` , `SDELD` , or `SDEMRD` sample paths by Milstein approximation
`simByMilstein2`	Simulate `BM` , `GBM` , `CEV` , `HWV` , `SDEDDO` , `SDELD` , `SDEMRD` process sample paths by second order Milstein approximation

示例

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创建一个 bm 对象

打开实时脚本

创建一元布朗运动 ( bm ) 对象，用于表示模型： $d X_{t} = 0.3 d W_{t}$ 。

obj = bm(0, 0.3) % (A = Mu, Sigma)

obj = 
   Class BM: Brownian Motion
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 0
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
             Mu: 0
          Sigma: 0.3

bm 对象将参数 A 显示为更常用的 Mu 。

bm 类还提供了一种重载的欧拉模拟方法，可以在某些常见情况下提高运行时性能。仅在满足以下所有条件时，才会自动调用此专用方法：

预期的漂移（或趋势）率 Mu 是一个列向量。
波动率 Sigma 为矩阵。
未进行任何周期末尾调整和/或处理。
如果指定，则随机噪声过程 Z 是三维数组。
如果未指定 Z ，则假设的高斯相关结构体为双精度矩阵。

详细信息

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实例层次结构

SDE 类之间存在继承关系。

下图是对继承关系的说明。

有关详细信息，请参阅 SDE Class Hierarchy 。

算法

当您将必需的输入参数指定为数组时，它们将与特定的参数化形式相关联。相比之下，当您将任一必需的输入参数指定为函数时，几乎可以自定义任何设定。

在没有输入的情况下访问输出参数只会返回原始输入设定。因此，当您不带输入调用这些参数时，它们的行为就像简单的属性，您可以测试指定的原始输入的数据类型（是双精度值还是函数，即是静态的还是动态的）。这对于验证和设计方法非常有用。

当您使用输入调用这些参数时，它们的行为类似于函数，给人以动态行为的印象。该参数接受观测时间 t 和状态向量 X _t ，并返回适当维度的数组。即使您最初将输入指定为数组， bm 也会将其视为时间和状态的静态函数，这样可以确保所有参数都可由同一接口访问。

参考

[1] Aït-Sahalia, Yacine. “Testing Continuous-Time Models of the Spot Interest Rate.” Review of Financial Studies , vol. 9, no. 2, Apr. 1996, pp. 385–426.

[2] Aït-Sahalia, Yacine. “Transition Densities for Interest Rate and Other Nonlinear Diffusions.” The Journal of Finance , vol. 54, no. 4, Aug. 1999, pp. 1361–95.

[3] Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering . Springer, 2004.

[4] Hull, John. Options, Futures and Other Derivatives . 7th ed, Prentice Hall, 2009.

[5] Johnson, Norman Lloyd, et al. Continuous Univariate Distributions . 2nd ed, Wiley, 1994.

[6] Shreve, Steven E. Stochastic Calculus for Finance . Springer, 2004.

版本历史记录

在 R2008a 中推出

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R2023b: 添加了 `simByMilstein2` 方法

使用 simByMilstein2 方法近似求出随机微分方程的数值解。

R2023a: 添加了 `simByMilstein` 方法

使用 simByMilstein 方法近似求出随机微分方程的数值解。

另请参阅

主题

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bm

说明

语法

描述

输入参量

Mu — Mu 表示参数 μ 数组或时间的确定性函数 | 时间和状态的确定性函数

Sigma — Sigma 表示参数 V 数组或时间的确定性函数 | 时间和状态的确定性函数

属性

StartTime — 首次观测的开始时间，应用于所有状态变量 0 (默认) | 标量

StartState — 状态变量的初始值 1 (默认) | 标量、列向量或矩阵

Correlation — 为生成布朗运动向量（维纳过程）而抽取的高斯随机变量之间的相关性 NBrowns × NBrowns 单位矩阵，表示独立高斯过程 (默认) | 半正定矩阵 | 确定性函数

Simulation — 用户自定义的模拟函数或 SDE 模拟方法 欧拉逼近模拟 ( simByEuler ) (默认) | 函数 | SDE 模拟方法

Drift — 连续时间随机微分方程 (SDE) 的漂移率分量 漂移率函数存储的值 (默认) | 漂移对象或函数可由 ( t , X t ) 访问

Diffusion — 连续时间随机微分方程 (SDE) 的扩散率分量 从扩散率函数存储的值 (默认) | 可由 ( t , X t ) 访问的扩散对象或函数

对象函数

示例

创建一个 bm 对象

详细信息

实例层次结构

算法

参考

版本历史记录

R2023b: 添加了 simByMilstein2 方法

R2023a: 添加了 simByMilstein 方法

另请参阅

主题

`Mu` — `Mu` 表示参数 μ
数组或时间的确定性函数 | 时间和状态的确定性函数

`Sigma` — `Sigma` 表示参数 V
数组或时间的确定性函数 | 时间和状态的确定性函数

`StartTime` — 首次观测的开始时间，应用于所有状态变量
`0` (默认) | 标量

`StartState` — 状态变量的初始值
`1` (默认) | 标量、列向量或矩阵

`Correlation` — 为生成布朗运动向量（维纳过程）而抽取的高斯随机变量之间的相关性
`NBrowns` × `NBrowns` 单位矩阵，表示独立高斯过程 (默认) | 半正定矩阵 | 确定性函数

`Simulation` — 用户自定义的模拟函数或 SDE 模拟方法
欧拉逼近模拟 ( `simByEuler` ) (默认) | 函数 | SDE 模拟方法

`Drift` — 连续时间随机微分方程 (SDE) 的漂移率分量
漂移率函数存储的值 (默认) | 漂移对象或函数可由 ( t , X _t ) 访问

`Diffusion` — 连续时间随机微分方程 (SDE) 的扩散率分量
从扩散率函数存储的值 (默认) | 可由 ( t , X _t ) 访问的扩散对象或函数

R2023b: 添加了 `simByMilstein2` 方法

R2023a: 添加了 `simByMilstein` 方法