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诺特定理
掌控所有运动规律的原理：最小作用量原理
拉格朗日量（Lagrangians，简称为拉氏量）是一种数学表达式，它包含了一个物理系统中几乎所有我们关注的信息。拉氏量通常具有对称性，这意味着当我们以某种特定方式转动或移动它们时，它们并不会发生改变。对称性和拉氏量非常重要，因为我们可以利用它们构造守恒量。守恒量是在整个物理系统演化过程中保持不变的可观测物理量。 物理学家喜欢寻找守恒量，因为它们不仅具有深刻的哲学意义，还在解方程过程中非常有用。当你知道有些…
好奇心和中二病
诺特定理的证明实际上就是证明： 在时间 [公式] 或者广义坐标 [公式] 的一系列连续无穷小变换下，如果系统的作用量 [公式] 不变则一定有一个不变的运动积分。设拉氏量 [公式] 描述一个封闭系统，对时间和广义坐标做无穷小变换： [公式] [公式] 其中 [公式] 是无穷小的实数， [公式] 和 [公式] 是 [公式] 的连续函数。 [公式] 表示系统有 [公式] 个自由度，此变换是沿其中一个自…
[分析力学]-关于LRL矢量的一点分析
a non-local existence
Laplace-Runge-lenz矢量最早接触LRL矢量是在高中的物竞课上，在学习天体物理时老师提到过一个Kepler问题一般有三个守恒量：能量，角动量和LRL(Laplace-Runge-Lenz)矢量。前两个好说，最后一个却令人费解。事实上，从物理直觉上来说，能量守恒对应的是轨道长轴确定，角动量守恒对应的是轨道平面确定，而LRL矢量守恒对应的则是轨道(长轴)取向和形状确定。 在一般的有心力场 [公式] 中，能量守恒自不必说，而角动量守恒同样…
是她奠定了现代理论物理的基础
作者：Marianne Freiberger 翻译：Nothing 审校：Automan-EX100年前，一个勾勒出现代物理学特征的理论被发表。它的作者名为埃米·诺特，是一位女数学家，爱因斯坦称她为“具有创造力的数学天才。” 爱因斯坦理所当然地成为人们的偶像，但是诺特却远不及她的贡献出名。她在物理学中所做的贡献仅仅是她所有工作中微小的一部分——对于数学家来说，她因建立抽象代数的基础而出名。但作为一个极好的例子，她深邃的数学视野以及她对物…
『定理』（theorem）描述的是命题之间的 逻辑关系。从严格给定的定义出发，并在逻辑上证明为真以后，这个定理就永远是真的了。实验和观测是无法『推翻』或者『证明』定理的。诺特定理就是一个例子。与之相比，定律（law）是对一类现象的归纳性描述，我们可以通过相关的实验或观测去给定律确定一个适用范围。牛顿的万有引力定律就是一个例子。 另外，诺特定理中涉及到的是可微对称性，而宇称不守恒涉及到的是离散对称性，因此两者…
题主已经想明白了，感谢陈童老师的点拨： 约束条件可以是off-shell的，而守恒量总是在on-shell意义上才守恒。 这也就解决了我一开始的疑问：为什么我们不把守恒量作为约束条件/辅助场带入拉格朗日量当中。 一个例子是：在理论力学中，守恒量作为运动积分不能带入拉格朗日量，因为这默认了我们的运动是on-shell的，但是在带入Euler-Lagrange方程之前未必如此。反而是我们确定了运动学之后才知道系统的守恒量是什么。 至于BRST是另…
对称性：场论中诺特定理推导
天坑幼儿园在读，做各种奇奇怪怪的公式推导
一、诺特定理简介诺特定理是指，对于力学系统的某种对称性，都存在一个守恒量与其对应。 在分析力学中，这常常体现在拉格朗日函数的循环坐标中。当拉格朗日函数不显含某个坐标时，常常对应于一种对称性，这就说明可以寻找到一个守恒量简化力学问题。 [图片] 二、经典场论的拉格朗日方程在分析力学中，我们可以了解到，质点的拉格朗日方程可以写作： [公式] …
祝贺题主重新推出了点电荷和磁单极子都存在时的角动量： [图片] Dirac量子化条件正是由此得到的：我们将 [公式] 取成 [公式] -方向，由角动量量子化就有 [公式] 注意， [公式] 是耦合常数，而含磁单极子的Maxwell方程在 [公式] 变换下不变，由此看到这一变换也使得 [公式]
抛砖引玉一下。 Fourier-Plancherel 算子定义 Fourier-Plancherel 算子 [公式] 为： [公式] 它实际上是个酉算子： [公式] 而 Parseval 定理无非就是这一事实的重新表述： [公式]
如何快速手推诺特流
我们在差一个isomorphism的意义下证明了上帝的唯一性
首先让我们回忆令人快乐的诺特技巧。设作用量为 [公式] 这里我们只考虑了至多含一次导数的作用量，但后面可以看到算法有明显的推广。这里 [公式] 包含了一切场。称理论在某一全局变换 [公式] 下不变（全局变换是指无穷小参数 [公式] 不含时空），是指在如上变换下有 [公式] 这意味着 [公式]
经常犯错，多多担待|骂人一般是因为心情不好，和对方无关
关于场论里的诺特定理，我来说点通俗易懂的。 为了简单起见，我用一维的场举例。 设场是 [公式] ，拉格朗日密度我取克莱因-戈登场的拉格朗日密度，为 [公式] 如果将整个场向右平移 [公式] ,( [公式] 为一小量)，也就是说让 [公式] 处的场从 [公式] 变为 [公式] ,那么，拉格朗日量会怎么变化呢？实际上，将 [公式] 展开到一阶小量…
一方面如你所说，诺特定理针对连续对称性，而宇称是分立对称性。 另一方面，就算真有某个连续对称性破缺了，那对应的荷自然就不守恒了啊，这和诺特定理也不矛盾。
春秋迭代，必有去故之悲
这里关于 @王俊凯 在本问题评论区中所问的问题：守恒量也能当成约束通过辅助场带入作用量吗？（之前没见过）作一个回复。简单说，大部分时候把守恒量作为约束条件加入拉氏量 不能给你任何新的信息。因此这样做没有太多意义。不过有一些特殊情况，守恒律可以作为约束条件进入拉氏量并且导致有趣的结果。以下我们对这两点分别进行阐述。1考虑如下Lagrangian: [公式] 其中 [公式] 是拉氏量 [公式]
真实的而非虚幻的；严谨的而非随意的；新颖的而非陈旧的。
直观理解嘛。。。一种对称性，意味着一种不可分辨性，这导致能获得的信息减少。例如一个物体具有绕某个轴的旋转对称性，那么物体绕轴旋转时，我去观察这个物体，无法分辨是转还是没转，转了多少，因为这些状态是全同的。诺特定理的话，大概也可以这么理解。体系有一种对称性，那么就对应一个非平凡的力学量，通过测量这个力学量我无法分辨体系的状态，体系演没演化我无法知道，相应获得的信息就很少了。数学上看，这个对称性有多…
《场量子化》——第 2 章：经典场论
某校之耻
所有变分算子本应采取 \text{\textdelta} 输出。尝试将 "boost" 翻译为“虚转动”，因为若定义 [公式] ，则 Lorentz 变换构成 [公式] 群。"vector" 翻译为“矢量”或者“向量”。原书 Field Quantization，作者 W. Greiner 和 J. Reinhardt。 2.1：导论空间每一点被赋予连续的场变量（统一记作 [公式] ），它们显然构成了无穷大自由度系统。理论的动力学变量是空间每一点上场 [公式]
物理本科
用人话 (不用公式) 来讲, 从"对称性"到"守恒量"的逻辑链是这样串起来的 (举一个一维系统, 平移对称性的例子) 因为平移对称性, 平移变换下不改变系统, 也就是平移变换在"等能量面"上进行变换.又因为平移变换不改变动量, 因此是平移变换在"等动量面"上变换. 因此"等动量面"和"等能量面"重合因为粒子的时间演化在"等能面"上进行因此粒子的时间演化在"等动量面"上进行因此动量守恒于是得到: 平移对称性 [公式] 动量守恒. 下面是对这个逻…