二次函数根的判别式怎么来的？

首先，纠正一下题主的问题里的小瑕疵.

函数没有根，方程才有根.题主可能是想说函数的零点吧

这里， \Delta 表示的是一元二次方程 ax^{2}+bx+c=0(a\ne0) 的判别式，次数大于等于2的方程都有判别式，方程是几次，根（或者说“解”）就有几个.对于2次方程，根永远都是两个，根的个数是不会变的.判别式判断的是根的特征，不是根的个数.对于一元二次方程判别式，严谨的说法应是：

当\Delta>0时，方程的根为两个不相等的实数

当\Delta=0时，方程的根为两个相等的实数 （不能说是一个根）

当\Delta<0时，方程的根为两个不相等的复数 （即没有实根，初中阶段无解）方程的根就可以理解为函数图像的交点.比如上面那个方程的两个根可以看作二次函数 y=ax^{2}+bx+c(a\ne0) 在平面直角坐标系 xOy 中的图像与 y=0(即x轴) 交点的横坐标，所以 \Delta 也经常用来判断交点个数.

下面说推导：

一元二次方程 ax^{2}+bx+c=0(a\ne0) 的判别式来自于对一元二次方程解法最初的探究.一元二次方程的求根公式就来源于此.这个解法的思路是将方程化为一个含未知数的完全平方式等于一个常数的形式，然后等式两边同时开平方将方程降为一次求解，概括为 “配方法” .首先，确定目标.通过简单的计算可知 （x+n）^{2}=x^{2}+2nx+n^{2}(n为常数) ，所以首要目标就是想办法在等式左边搞出 x^{2}+2nx+n^{2}(n为常数) 的形式，而且右边是一个常数，这样就可以方程化成 （x+n）^{2}=一个常数(n为常数) 然后开平方了.

（说了这么多终于到了正题）

ax^{2}+bx+c=0

1. ax^{2}+bx=-c (先把并不妨碍降次的常数c移项到右边）

2. x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} （目标形式中二次项系数为1，所以等式两边同时除以a将二次项系数化为1，已知 a\ne0 ，可以放心除）

3. x^{2}+\frac{b}{a}x+\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}=-\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^{2} （一次项系数 \frac{b}{a} 就是2n，所以我们要的 n=\frac{b}{2a} ,等式两边同时加上 n^{2} 得到目标形式）

4. \left(x+ \frac{b}{2a} \right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} （于是左边便化为了完全平方式，右边经过简单的计算化为分式的标准最简形式）

5. x+ \frac{b}{2a} =\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} （等式两边同时开平方成功降次，注意加正负号）

6. x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} （移项求得x，这就是一元二次方程的求根公式）

得到求根公式以后，判别式是什么就很显然了，就是这个式子里唯一的被开方数 b^{2}-4ac .

若b^{2}-4ac>0，常规情况.

若b^{2}-4ac=0，\sqrt{b^{2}-4ac}=0，则两根相等，为-\frac{b}{2a}

若b^{2}-4ac<0，\sqrt{b^{2}-4ac}为虚数，方程没有实数根