从这章开始我们将正式接触随机分析的主要“人物”——布朗运动.

都说万丈高楼平地起，有时候看这些数学也觉得确实挺无聊的，但做到深处的模型又看不懂了，所以还是老老实实脚踏实地的学好每一块吧. 可不敢一口吃个大胖子.

定义1. 设$\{W_t\}$是一个随机过程，如果它满足以下三条：

(1) $W_0=0$

(2) $W_t$具有独立增量，即对于任意的$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$，
$$W_0,W_{t_1}-W_{t_0},W_{t_2}-W_{t_1},\cdots,W_{t_n}-W_{t_{n-1}}$$

(3) $\forall t>s$, $W_t-W_s\sim N(0,t-s)$

我们称$W_t$为布朗运动. 在有些书中，也用$B_t$来表示布朗运动，是一致的.

例1. 证明：(1) $W_t$是鞅 (2) $W_t^2-t$是鞅

【证明】：(1) 我们有$\forall t>s$
$$\mathbb{E}[W_t|\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[W_t-W_s+W_s|\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[W_t-W_s]+W_s=W_s$$
于是$W_t$是鞅.

(2) 我们有$\forall t>s$

\begin{aligned}
\mathbb{E}[W_t^2-t|\mathcal{F}_s]&=\mathbb{E}[(W_t-W_s)^2+W_s^2+2(W_t-W_s)W_s|\mathcal{F}_s]-t\\&=\mathbb{E}[(W_t-W_s)^2]+2\mathbb{E}[W_t-W_s]W_s+W_s^2-t\\&=t-s+0+W_s^2-t\\&=W_s^2-s
\end{aligned}

故$W_t^2-t$是鞅.

回忆概率论中所学的$p$阶收敛

定义2.（p阶收敛） 设$p\in[1,\infty)$，$X_n,X_\in L^p$，若
$$\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[|X_n-X|^p]=0$$
则称$X_n$ p阶收敛于$X$，记作$X_n\xrightarrow{p}X$.

在$p=2$时，我们通常称作均方收敛，记作$X_n\xrightarrow{m.s.}X$，在接下来的随机分析课程中，如无特殊说明，收敛均指在均方意义下收敛.

引理1. 设随机变量列$X_n$满足$\mathbb{E}[X_n]\to\mu(n\to\infty)$，并且$\text{Var}(X_n)\to0(n\to\infty)$，则
$$X_n\xrightarrow{m.s.}\mu$$

【证明】：
$$\mathbb{E}[(X_n-\mu)^2]=\mathbb{E}^2[|X_n-\mu|]+\text{Var}(X_n)\to0\quad(n\to\infty)$$

例3. 证明：$$\lim_{t\to\infty}\frac{W_t}{t^{\alpha}}=0\quad\left(\alpha>\frac{1}{2}\right)$$

【证明】：首先我们有
$$\mathbb{E}\left[\frac{W_t}{t^{\alpha}}\right]=0$$
$$\text{Var}\left(\frac{W_t}{t^{\alpha}}\right)=\frac{1}{t^{2\alpha}}\text{Var}(W_t)=\frac{1}{t^{2\alpha-1}}\to0\quad(t\to\infty)$$
于是由引理1可知
$$\lim_{t\to\infty}\frac{W_t}{t^{\alpha}}=0$$

布朗运动的扩展

这个部分的更多只是介绍，并不做为一定要掌握的东西，仅仅只需要作以了解即可.

几何布朗运动

几何布朗运动的一般形式是
$$X_t=e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W_t
它是随机微分方程
$$\mathrm{d}X_t=\mu X_t\mathrm{d}t+\sigma X_t\mathrm{d}W_t$$
的解. 我们将在后面的课程中求解该方程. 对于
$$Y_t=e^{W_t}$$
$$\mathbb{E}[Y_t]=e^{\frac{t}{2}},\quad\text{Var}[Y_t]=e^{2t}-e^t$$
请读者自行证明（提示：矩母函数）

积分布朗运动

$$Z_t=\int_0^{t}W_s\mathrm{d}s$$
为积分布朗运动. 求它的分布是一件很有意思的事情. 首先我们做分划
$$0=t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n=t$$
其中$t_i=i\Delta t=\frac{t}{n}$. 于是我们有
$$Z_t=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}W_{t_i}\Delta t$$
对于后面的极限，我们有
\begin{aligned}
Z_t^{(n)}&=\sum_{i=1}^{n}W_{t_i}\Delta t\\&=\Delta t(W_{t_1}+W_{t_2}+\cdots+W_{t_n})\\&=\Delta t(W_{t_1}+(W_{t_1}+W_{t_2}-W_{t_1})+\cdots+(W_{t_1}+W_{t_2}-W_{t_1}+\cdots+W_{t_n}-W_{t_{n-1}}))\\&=\Delta t(n W_{t_1}+(n-1)(W_{t_2}-W_{t_1})+\cdots+(W_{t_n}-W_{t_{n-1}}))\\&=\Delta t\sum_{i=1}^{n}(n-i+1)(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}})\\&\sim N\left(0,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}(\Delta t)^3\right)
\end{aligned}$$
于是$Z_t$的分布即为$Z_t^{(n)}$的极限分布
$$Z_t\sim N\left(0,\frac{t^3}{3}\right)$$

Bessel过程

假设在$\mathbb{R}^2$中，有两个相互独立的布朗运动$W_t^{(1)},W_t^{(2)}$，现在定义
$$X_t=\sqrt{[W_t^{(1)}]^2+[W_t^{(2)}]^2}$$
我们称它为Bessel过程. 其可以看做是$x$轴$y$轴分别独立的布朗运动之和到原点的距离. 其分布为
$$\mathbb{P}(X_t\leq r)=1-e^{-\frac{r^2}{2t}}$$
更一般的情况，假设在$\mathbb{R}^n$中，又该如何求解？（这被留成了作业题）
这里给出我的两种做法