两个直方图在相同的测量尺度上。通过快速看一下直方图，可以看到，没有十分异常的点，即 离群值 。数据看起来大致呈钟型，因此我们最初假设数据是正态分布这种想法似乎是合理的。

通过检验汇总统计量，我们可以看到，标准差是相似的。这支持方差相等的想法。我们还可以使用方差检验来检查这一点。

从这些观测来看，双样本 t 检验这种方法似乎适合检验均值差异。

没有执行任何检验，我们就能看到，在样本中，男性和女性的均值是不同的。但它们是怎样不同呢？均值是否“足够接近”，可以让我们得出这样的结论：健身房中男性和女性更大总体的平均体脂相同？或者，均值是否差异过大，让我们无法得出这样的结论？

我们将在下面的统计详情中进一步说明支持双样本 t 检验的原则，但我们先从头到尾继续完成相关的步骤。首先计算检验统计量。此计算首先是要找到两个均值之间的差异：

$ 22.29 - 14.95 = 7.34 $

样本差异可以估计两组数据总体均值之间的差异。

接下来，计算合并标准差。这样可以合并起来估计总体标准差。估计值会针对不同的组大小进行调整。首先，计算合并方差：

$ s_p^2 = \frac{((n_1 - 1)s_1^2) + ((n_2 - 1)s_2^2)} {n_1 + n_2 - 2} $

$ s_p^2 = \frac{((10 - 1)5.32^2) + ((13 - 1)6.84^2)}{(10 + 13 - 2)} $

$ = \frac{(9\times28.30)+ (12\times46.82)}{21}$

$ = \frac{(254.7+ 561.85)}{21} $

$ =\frac{816.55}{21}= 38.88 $

接下来，取合并方差的平方根，以得到合并标准差。即：

$ \sqrt{38.88}= 6.24 $

现在有了计算检验统计量的所有要素。我们有了均值差异、合并标准差和样本大小。我们将计算检验统计量，如下所示：

$ t = \frac{\text{组平均值差异}}{\text{标准误差差异}} = \frac{7.34}{(6.24\times \sqrt{(1/10 + 1/13)})} = \frac{7.34}{2.62}= 2.80 $

为了评估均值之间的差异，以便做出关于健身房课程的决策，我们将检验统计量与来自 t 分布的理论值进行比较。此操作包含 4 个步骤：

1. 确定我们愿意为宣告显著差异而承担的风险。对于体脂数据，我们愿意为得出错误结论（即，当男性和女性未知的总体均值实际上相等时，我们认为它们不相等）承担 5% 的风险。用统计学的表达方式，将以 α 表示的显著性水平设置为 0.05。最好在在收集数据之前以及计算检验统计量之前做出此设定。
2. 计算检验统计量。检验统计量为2.80。
3. 根据我们的原假设（即男性和女性的均值相等）从 t 分布中找到理论值。大多数统计学书籍都有 t 分布查询表。您也可以在网上找到这些表格。最可能的情况是，您会使用软件而非打印的表格。
   为了找到这个值，我们需要有显著性水平 (α = 0.05) 和 自由度 。自由度 ( df ) 基于两组的样本大小。对于体脂数据，也就是：
   $ df = n_1 + n_2 - 2 = 10 + 13 - 2 = 21 $
   α = 0.05 并且具有 21 个自由度的 t 值是 2.080。
4. 将统计量的值 (2.80) 与 t 值进行比较。由于 2.80 > 2.080，我们将拒绝男性和女性的平均体脂相等这个原假设，并可以得出这样的结论：我们有证据证明男性和女性总体的体脂不同。

计算合并标准差。这假设潜在的总体方差相等。合并方差公式如下所示：

$ s_p^2 = \frac{((n_1 - 1)s_1^2) + ((n_2 - 1)s_2^2)} {n_1 + n_2 - 2} $

公式以 n ₁ 表示第一组的样本大小，以 n ₂ 表示第二组的样本大小。两组的标准差是 s ₁ 和 s ₂ 。这种估计允许两组有不同的观测值数量。合并标准差是方差的平方根，以 s _p 表示。

如果两组的样本大小相同，该怎么办？在这种情况下，合并方差估计值就是两组的方差平均值：

$ s_p^2 = \frac{(s_1^2 + s_2^2)}{2} $

检验统计量的计算方法是：

$ t = \frac{(\overline{x_1} -\overline{x_2})}{s_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} $

然后，将检验统计量与我们为数据所选择的 alpha 值和自由度得到的 t 值进行比较。以体脂数据为例，设置 a = 0.05。自由度 ( df ) 基于组大小，计算方法为：

$ df = n_1 + n_2 - 2 = 10 + 13 - 2 = 21 $

公式以 n ₁ 表示第一组的样本大小，以 n ₂ 表示第二组的样本大小。统计师将 α = 0.05 并且有 21 个自由度的 t 值写作：

$ t_{0.05,21}$

α = 0.05 并且有 21 个自由度的 t 值是 2.080。我们的比较有两种可能的结果：

• 检验统计量低于 t 值。您无法拒绝均值相等这个原假设。您得出的结论是：数据支持男性和女性有相同的平均体脂这个假设。
• 检验统计量高于 t 值。您将拒绝均值相等这个原假设。您无法得出男性和女性有相同的平均体脂这个结论。

当两组方差不等时，我们无法使用合并的标准差估计值。相反，分别取每组的标准误差。检验统计量是：

$ t = \frac{ (\overline{x_1} -  \overline{x_2})}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}} $

检验统计量的分子与前面相同。它是两组平均值之间的差异。分母是均值之间差异的总体标准误差估计值。它基于每个组单独的标准误差。

有不等方差的 t 值的自由度计算比有相等方差的自由度计算更为复杂，这通常留给统计软件来处理。需要记住的重点是：如果您无法使用合并的标准差估计值，您就无法使用简单的公式来计算自由度。

图 3：对体脂数据的不等方差进行的检验