如何简单地理解Lebesgue积分以及计算运用，能举出具体例子最好？

最近在看测度论，所以来回答一下题主的问题。文字加黑表示是数学术语

我们先从Riemann积分开始

Riemann积分中“简单”一类的函数是 逐段常值 (piecewise constant)的函数， 可以容易进行积分。

逐段常值的函数直观上就说阶梯函数，定义如下

定义1(逐段常值函数) 设 I 是有界区间，并设 f:I\rightarrow\mathbb{R} 是函数，如果存在 I 的一个 分法 \mathbb{P} 使得 f 关于 \mathbb{P} 是 逐段常值 的(即对于每个 J\in \mathbb{P} ， f 在 J 都是常值的)，那么我们就说 f 在 I 上式逐段常值的。

比如函数 f(x):=\left\{ \begin{aligned} 7 & \quad\text{当}1\leq x<3 \\ 4&\quad\text{当}x=3\\ 5 &\quad \text{当}3<x<6 \\2&\quad\text{当}x=6 \end{aligned} \right.
是逐段常值的函数，因为它在关于 [1,6] 的分法 \mathbb{P}= { [1,3), { 3 } ,(3,6), { 2 }}上是逐段常值的
对于逐段常值的函数，我们定义 逐段常值积分 p.c.\int_I f 为
p.c.\int_I f:=\sum_{J\in \mathbb{P}}c_J|J|

其中 \mathbb{P} 是 I 任意分法，而 f 在 I 是关于 \mathbb{P} 逐段常值， c_J 为 f 在 J 上的值， |J| 为区间 J 的 长度 ，可以证明上式的值与分法无关。

比如，如下定义的函数 p.c.\int_{[1,6]}f=7\times2+4\times0+5\times3+2\times0=29

使用逐段常值积分，我们可以当以在有界区间上有界函数的Riemann积分

定义2(Riemann积分) 设 f:I\rightarrow\mathbb{R} 是定义在有界区间上的有界函数，定义 f 在 I 的 上Riemann积分
\overline{\int_{I}}f:=\inf_{g\geq f,g\text{逐段常值}}p.c.\int_{I}g
和 下Riemann积分
\underline{\int_{I}}f:=\sup_{g\leq f,g\text{逐段常值}}p.c.\int_{I}g
如果 \underline{\int_{I}}f=\overline{\int_{I}}f ，我们就说 f 在 I 上 Riemann可积 并且定义 Riemann积分 {\int_{I}}f:=\underline{\int_{I}}f=\overline{\int_{I}}f
如果上Riemann积分和下Riemann积分不相等，我们就说 f 不是Riemann可积的。

使用这一定义计算函数的Riemann积分比较困难，我们一般使用 微积分第二基本定理 来计算Riemann积分。

(微积分第二基本定理) 设 a<b 是实数，并设 f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} 是Riemann可积函数，如果 F:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} 是 f 的一个原函数(即 x\in[a,b],F'(x)=f(x) )，那么
\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)

一大类函数有界函数都是Riemann可积的(比如连续函数，单调函数)，但存在有界函数，它不是Riemann可积的。
比如设 f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} ， f(x):=\left\{ \begin{aligned} 1 & \quad\text{当}x\in\mathbb{Q}\\ 0&\quad\text{当}x\notin\mathbb{Q}\ \end{aligned} \right. ，那么 f 是有界的，但不是Riemaa可积的，因为它的上Riemann积分 \overline{\int_{[0,1]}}f=1 ，而下Riemann积分 \underline{\int_{[0,1]}}f=0

Lebesgue积分可以看成是Riemann积分的 完备化 ，因为

1. Lebesgue积分延伸了Riemann积分，每个Riemann可积的函数都是 Lebesgue可积 的，且积分一致。
2. 每一个Lebesgue可积的函数都能够被更好的函数逼近，比如Riemann可积的函数或者连续函数。

Lebesgue积分是从简单函数开始定义的，并且可以统一处理一维和高维的情形。

定义3(简单函数). 设 d 是正整数，一个 简单函数 f:\mathbf{R^d}\to\mathbf{R} 是有限个Lebesgue可测集 E_i\subset \mathbf{R}^d \ (i=1,\cdots,n) 的指示函数 1_{E_i} 的线性组合
f=c_11_{E_1}+\cdots+c_n1_{E_n}
这里 n\geq 1 是自然数， c_1,\cdots,c_n\in\mathbf{R} 是实数。

一个非负简单函数 f:\mathbf{R}^d\to [0,+\infty] 的定义是类似的，但 c_i 在 [0,+\infty] 中取值而不是在 \mathbf{R} 中。

定义4(非负简单函数的Lebesgue积分). 如果 f=c_11_{E_1}+\cdots c_n1_{E_n} 是一个非负简单函数，积分 \mathrm{Simp}\int_{\mathbf{R}^d} f(x)\ dx 定义为
\mathrm{Simp}\int_{\mathbf{R}} f(x)\ dx:=c_1m(E_1)+\cdots+c_nm(E_n)
这里 m 是 \mathbf{R}^d 上的 Lebesgue测度 。因此 \mathrm{Simp}\int_{\mathbf{R}^d} f(x)\ dx 在 [0,+\infty] 中取值。

定义5. 设 f:\mathbf{R}^d\to[0,+\infty] 是非负函数（不必可测），我们定义 f 的下Lebesgue积分
\underline{\int_{\mathbf{R}^d}}f(x)\ dx:=\sup_{0\leq g\leq f\,:\, g\,\text{简单}}\mathrm{Simp}\int_{\mathbf{R}^d} g(x)\ dx

我们也可以定义 f 的上Lebesgue积分
\overline{\int_{\mathbf{R}^d}}f(x)\ dx:=\inf_{g\geq f\,:\, g\,\text{简单}}\mathrm{Simp}\int_{\mathbf{R}^d} g(x)\ dx
但我们很少使用这个积分，注意这两个积分都在 [0,+\infty] 中取值，并且上Lebesgue积分大于或等于下Lebesgue积分。

定义6(非负可测函数的Lebesgue积分) 如果 f:\mathbf{R}^d\to[0,+\infty] 是可测的，我们定义 f 的Lebesgue积分等于它的下Lebesgue积分 \underline{\int_{\mathbf{R}^d}}f(x)\ dx 。（对于不可测的函数，我们不定义它的Lebesgue积分）

一个可测函数 f:\mathbf{R}^d\to\mathbf{R} 说是 绝对可积的 如果积分

\|f\|_{L^1(\mathbf{R}^d)}:=\int_{\mathbf{R}^d}|f(x)|\ dx

是有限的。

定义7 (可测函数的Lebesgue积分) 如果 f:\mathbf{R}^d\to\mathbf{R} 是绝对可积的，我们定义 f 的Lebesgue积分
\int_{\mathbf{R}^d}f(x)\ dx:=\int_{\mathbf{R}^d} f_+(x)\ dx-\int_{\mathbf{R}^d} f_-(x)\ dx
这里 f_+:=\max(f,0),f_-:=\max(-f,0) 是 f 的正部和负部。

一个例子就是Dirichlet函数

D(x):=\begin{cases} 1,& x\in\mathbf{Q},\\ 0,& x\notin\mathbf{Q}. \end{cases}

的Lebesgue积分， D(x) 是一个简单函数，根据定义3，它的Lebesgue积分等于 0 。