\[\int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f^{+}(x)\mathrm{d}x-\int_{E}f^-(x)\mathrm{d}x.
\[\int_{E}Cf(x)\mathrm{d}x=C\int_{E}f(x)\mathrm{d}x,\\
\int_{E}[f(x)+g(x)]\mathrm{d}x=\int_{E}f(x)\mathrm{d}x+\int_{E}g(x)\mathrm{d}x.
乘法性质：若
\(f\in L(E)\)
，
\(g(x)\le M\)
且二者都可测，则
\(fg\in L(E)\)
。
若
\(f\)
是
可测函数
，则
\(f(x)\)
的可积性与
\(|f(x)|\)
相同，且由绝对值不等式，
\[\left|\int_{E}f(x)\mathrm{d}x \right|\le \int_{E}|f(x)|\mathrm{d}x.
\]
这里强调
\(f\)
可测，是因为
\(f(x)\)
的可测性与
\(|f(x)|\)
不一定相同。
若
\(A\)
是
\(E\)
的可测子集，则
\(\displaystyle{\int_{A}f(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f(x)\chi_{A}(x)\mathrm{d}x}\)
。
若
\(f\in L(E)\)
，则
\(f(x)\)
在
\(E\)
上几乎处处有限，即
\(m(\{x:|f(x)|=\infty\})=0\)
。
若
\(|f(x)|\le F(x)\)
且
\(g(x)\)
可积，则
\(f(x)\)
也可积。此时的
\(g(x)\)
称为
\(f(x)\)
的
控制函数
，控制函数法是用于证明函数可积的重要策略。
积分的绝对连续性：若
\(f\in L(E)\)
，则
\(\forall \varepsilon>0\)
，存在
\(\delta>0\)
，使得任何
\(E\)
中子集
\(e\)
只要满足
\(m(e)<\delta\)
，就有
\(\displaystyle{\left|\int_{e}f(x)\mathrm{d}x\right|\le \int_{e}|f(x)|\mathrm{d}x<\varepsilon}\)
。
这里给出绝对连续性的证明，由于对一般的可测函数可以对
\(|f(x)|\)
使用绝对连续性定理，故下面的证明中假定
\(f(x)\ge 0\)
。
\(\forall \varepsilon>0\)
，存在简单函数
\(\varphi(x)\le f(x)\)
，使
\(\displaystyle{\int_{E}[f(x)-\varphi(x)]\mathrm{d}x<\frac{\varepsilon}{2}}\)
，不妨设
\(\varphi(x)\le M\)
。现在，取
\(\delta=\dfrac{\varepsilon}{2M}\)
，那么
\[\begin{aligned}
\int_{e}f(x)\mathrm{d}x=&\int_{e}f(x)\mathrm{d}x-\int_{e}\varphi(x)\mathrm{d}x+\int_{e}\varphi(x)\mathrm{d}x\\
&\le \int_{E}[f(x)-\varphi(x)]\mathrm{d}x+\int_{e}Mx\\
&<\frac{\varepsilon}{2}+M\cdot m(e)\\
&\le \varepsilon.
\end{aligned}
\]
得证。
2. 三大收敛定理
对于Lebesgue积分，有两大十分重要的收敛定理，其中之一是关于非负可积函数的单调收敛定理。它给出了极限与积分可交换的一个条件：关于可列指标渐升。（证明4-1）
Levi单调收敛定理：设有定义在
\(E\)
上的渐升非负可测函数列
\(\{f_k(x)\}\)
，且
\(\displaystyle{\lim_{k\to \infty}f_k(x)=f(x)}\)
，
\(x\in E\)
，则
\[\lim_{k\to \infty}\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f(x)\mathrm{d}x.
\]
在此关系式中，令
\(g_k(x)=f_1(x)-f_k(x)\)
，就能证明当
\(\{g_k(x)\}\)
是非负渐降函数列时，积分与极限依然可交换。
我们知道非负可测函数可以由非负简单函数渐升逼近，且逼近的形式不唯一，通过Levi单调收敛定理，可以发现只要这一列简单函数最终渐升收敛于
\(f(x)\)
，那么这一列简单函数的积分值极限就会是此可测函数的积分值极限。这也是我们计算非负可测函数的Lebesgue积分的一个方法。
由Levi单调收敛定理，我们还能得出以下结论：
若
\(f\in L(\mathbb{R}^n)\)
，则
\(\displaystyle{\lim_{N\to \infty}\int_{|x|\ge N}|f(x)|\mathrm{d}x=0}\)
。（证明4-2）
非负函数逐项积分：若
\(\{f_k(x)\}\)
是
\(E\)
上的非负可测函数列，则
\[\int_{E}\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x.
\]
只需令
\(S_{k}(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{k}f_i(x)}\)
，利用Levi单调收敛定理即可。
此定理指出，只要函数项每一项都非负可测，函数项级数就可以逐项积分。
积分区域可加性：设
\(E_k\)
是互不相交的可测集，且
\(f\in L(E)\)
，
\(\displaystyle{E=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k}\)
，则
\[\int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E_k}f(x)\mathrm{d}x.
\]
可以先假设诸
\(f\)
是非负函数，再令
\(f_k(x)=f(x)\chi_{E_k}(x)\)
，由非负函数逐项积分可得。然后对一般可测函数
\(f\)
，只需
\(f=f^+-f^-\)
即可推得。
注意到令
\(f(x)\equiv 1\)
，就得到了测度的可列可加性。
对于非负函数列，如果它单调，我们证明了极限与积分可交换；而当它不单调时，极限与积分不一定可交换，但Fatou引理给出了先极限后积分与先积分后极限之间的大小关系。(证明4-3)
Fatou引理：若
\(\{f_k(x)\}\)
是
\(E\)
上的非负可测函数列，则
\[\int_{E}\varliminf_{k\to \infty}f_k(x)\mathrm{d}x\le \varliminf_{k\to \infty}\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x.
Fatou引理甚至不要求
\(\{f_k(x)\}\)
收敛，而如果
\(f_k(x)\)
是收敛的，就有
\(\displaystyle{\varliminf_{k\to \infty}f_k(x)=\lim_{k\to \infty}f(x)}\)
，不过，对
\(f_k(x)\)
的非负性要求依然存在。要注意，不要把不等号方向弄反。可以举出一个使得Fatou引理中不等号成立的例子，用下面的例子来记住不等式的方向：
\[f_n(x)=n\chi_{(0,\frac{1}{n})},\quad \lim_{n\to \infty}\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\mathrm{d}x=\lim_{n\to \infty}1=1;\\
f(x)=0,\quad \int_{\mathbb{R}}\lim_{n\to \infty}f_n(x)\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}}0\mathrm{d}x=0.
\]
同时，Fatou引理也表明，只要
\(\displaystyle{\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x}\)
均有界，且
\(\{f_k(x)\}\)
收敛，则收敛到的函数
\(f(x)\)
是可积的。
最后是对有界函数列的Lebesgue控制收敛定理，与Levi单调收敛定理与Fatou引理不同的是，它不要求可测函数的非负性，即对任意可测函数列，只要满足被某个可积函数所一致控制，积分与极限就可以交换。（证明4-4）
\[\lim_{k\to \infty}\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f(x)\mathrm{d}x.
\]
称
\(F(x)\)
为函数列
\(\{f_k(x)\}\)
的控制函数。实际上，此时有
\[\lim_{k\to \infty}\int_{E}|f_k(x)-f(x)|\mathrm{d}x=0.
为验证积分与极限可交换，往往要用到Levi单调收敛定理或者Lebesgue控制收敛定理，而单调收敛定理需要满足的非负性与单调性，由函数本身的性质就可以直接得出，在许多情况下并不适用，比如积分式中出现
\(\sin x\)
、
\(\cos x\)
使函数正负交错时；而Lebesgue控制收敛定理的条件相对要弱一些，但同时验证的难度也较大，寻找控制函数是一个问题，有时可能需要
分段控制
。我们给出一些利用控制收敛定理和单调收敛定理证明函数可积的例子（证明4-5）。
由Lebesgue控制收敛定理，可以得到以下结论：
逐项积分：设
\(f_k\in L(E)\)
，若
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E}|f_k(x)|\mathrm{d}x<\infty}\)
，则
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)}\)
在
\(E\)
上几乎处处收敛于
\(f(x)\)
，这时
\(f\in L(E)\)
且
\[\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f(x)\mathrm{d}x.
\]
证明过程与非负可测函数的逐项积分类似，只需构造出控制函数
\(F(x)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)}\)
即可。
积分号下求导（证明4-6）：设
\(f(x,y)\)
是定义在
\(E\times (a,b)\)
上的函数，作为
\(x\)
的函数在
\(E\)
上可积，作为
\(y\)
的函数在
\((a,b)\)
上可微。若存在
\(F\in L(E)\)
，使得
\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(x,y)\le F(x),\mathrm{a.e.}}\)
，则积分与求导可交换，有
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_{E}f(x,y)\mathrm{d}x=\int_{E}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(x,y)\mathrm{d}y.
3. 可积函数与连续函数
这一部分，首先给出可积函数可以由其他类型函数逼近的定理。
若
\(f\in L(E)\)
，则
\(\forall \varepsilon>0\)
，存在
\(\mathbb{R}^n\)
上具有紧支集的连续函数
\(g(x)\)
，使得
\[\int_{E}|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x<\varepsilon.
\]
这里，具有紧支集指的是
\(\{x:f(x)\ne 0\}\)
的闭包是紧集。证明过程只需先取一个简单函数作
\(\dfrac{\varepsilon}{2}\)
的初次逼近，再用连续函数逼近此简单函数即可。
由此，可以得到一列具有紧支集的连续函数列
\(\{g_k(x)\}\)
，使得
\[\lim_{k\to \infty}\int_{E}|f(x)-g_k(x)|\mathrm{d}x=0,
\]
即
\(g_k(x)\)
依
\(L^{1}\)
收敛于
\(f(x)\)
，意味着
\(\displaystyle{\lim_{k\to \infty}g_k(x)=f(x),\mathrm{a.e.}}\)
。
特别当
\(E=[a,b]\)
时，结论可以改进为：
接下来给出积分的平均连续性定理。
平均连续性：若
\(f\in L(\mathbb{R}^n)\)
，则
\[\lim_{h\to 0}\int_{\mathbb{R}^{n}}|f(x+h)-f(x)|\mathrm{d}x=0.
对这个定理的证明，首先利用连续函数逼近定理，可以将
\(f(x)\)
分解为
\(f_1(x)+f_2(x)\)
，这里
\(f_1(x)\)
是具有紧支集的连续函数，
\(f_2(x)\)
是一个积分足够小的函数，不妨设小于
\(\dfrac{\varepsilon}{4}\)
。对具有紧支集的连续函数，当
\(h\)
足够小时，自然有
\(\displaystyle{\int_{\mathbb{R}^{n}}|f_1(x+h)-f_1(x)|\mathrm{d}x<\frac{\varepsilon}{2}}\)
，从而
\[\begin{aligned}
&\quad \int_{\mathbb{R}^{n}}|f(x+h)-f(x)|\mathrm{d}x\\&\le \int_{\mathbb{R}^{n}}|f_1(x+h)-f_1(x)|\mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^{n}}|f_2(x+h)-f_2(x)|\mathrm{d}x\\
&< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\
&<\varepsilon.
\end{aligned}
\]
4. 积分的计算
直接利用定义计算Lebesgue积分是几乎不可能得到的，即使是利用Levi单调收敛定理，也要找到一个渐升收敛于原函数的简单函数列，计算过程十分繁琐。注意到Lebesgue积分是对Riemann积分的推广，因此直觉上Lebesgue积分应当拥有与Riemann积分相同的积分值。如果能够论证这两种积分之间的数量关系，求Lebesgue积分就会变得简单，这包含了两个问题：
在一维
有界
的情形，我们不加证明地给出结论：若
\(f(x)\)
在
\(I=[a,b]\)
上是Riemann可积的，则
\(f(x)\)
在
\([a,b]\)
上是Lebesgue可积的，且积分值相同。
然而，对于反常积分，Riemann可积的函数却不一定Lebesgue可积，这是因为由正常积分的极限得到的Riemann积分可能收敛，但是Lebesgue积分的可积性必须满足
\(|f|\)
可积，有时
\(f\)
会在趋向无穷处或瑕点附近正负摆动，使得
\(f\)
的积分收敛但
\(|f|\)
发散，如
\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2},\quad \int_{0}^{\infty}\left|\frac{\sin x}{x} \right|\mathrm{d}x=+\infty.
\]
这种结果是Lebesgue积分的定义所致，它不是正常积分的极限，而是
\(f^+\)
与
\(f^-\)
积分的差，因而
\(f\)
可积必须要求
\(f^+\)
和
\(f^-\)
都是有限值。但是，当
\(f^+\)
与
\(f^-\)
都是无限时，它们的差（极限意义下）却不一定是无限值，这导致了Riemann反常积分的存在。但
如果
\(|f|\)
也广义Riemann可积，则
\(f\)
是广义Lebesgue可积的
。
以上是一维的情形，对于二维及以上的区域，Riemann积分采用累次积分的方式计算连续函数的重积分，从而简化积分的计算过程；对于Lebesgue积分，如果
\(f\)
是可积函数
，则累次积分与重积分仍然是相等的，这就是Fubini定理（对非负可测函数，此定理为Tonelli定理）。
Fubini定理：若
\(f\in L(\mathbb{R}^{n})\)
，
\((x,y)\in \mathbb{R}^{n}=(\mathbb{R}^{p}\times\mathbb{R}^q)\)
，则
对于
\(x\in \mathbb{R}^p,\mathrm{a.e.}\)
，
\(f(x,y)\)
是
\(\mathbb{R}^q\)
上的可积函数（
\(\mathrm{d}y\)
）。
积分
\(\displaystyle{\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)\mathrm{d}y}\)
是
\(\mathbb{R}^p\)
上的可积函数（
\(\mathrm{d}x\)
）。
\[\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^p}\mathrm{d}x\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^q}\mathrm{d}y\int_{\mathbb{R}^p}f(x,y)\mathrm{d}x.
运用Fubini定理，前提是
\(f\in L(\mathbb{R}^{n})\)
，否则即使两个累次积分存在，重积分也可能不存在。因此，运用Fubini定理，实际上是在阐述二元函数
\(f(x,y)\)
的可积性。欲将积分化为累次积分，常常需要引入特征函数，如：若
\(f\in L([0,1]^{2})\)
，则
\[\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.
\]
事实上只要引入积分区域
\(E=\{(x,y):0\le y\le x\le 1\}\)
，并用
\(\chi_{E}f(x,y)\)
替换
\(f(x,y)\)
即可。
接下来给出一些特殊的二元积分：卷积函数和分布函数。
卷积：设
\(f(x)\)
和
\(g(x)\)
是
\(\mathbb{R}^{n}\)
上的可测函数，若积分
\[\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x-y)g(y)\mathrm{d}y
\]
存在，则称此积分为
\(f\)
与
\(g\)
的卷积，记作
\((f*g)(x)\)
。
卷积函数有如下性质（证明4-7）：
可积函数的卷积函数可积且有界：若
\(f,g\in L(\mathbb{R}^{n})\)
，则
\((f*g)(x)\)
对几乎处处
\(x\in \mathbb{R}^{n}\)
存在，
\((f*g)(x)\in L(\mathbb{R}^{n})\)
，且
\[\int_{\mathbb{R}^{n}}|(f*g)(x)|\mathrm{d}x\le \left(\int_{\mathbb{R}^{n}}|f(x)|\mathrm{d}x \right)\left(\int_{\mathbb{R}^{n}}|g(x)|\mathrm{d}x \right).
卷积是连续函数：设
\(f\in L(\mathbb{R}^{n})\)
，
\(g(x)\)
在
\(\mathbb{R}^{n}\)
上有界可测，则
\(F(x)=(f*g)(x)\)
是
\(\mathbb{R}\)
上的一致连续函数。
分布函数的概念与概率论中随机变量的分布函数不一样，于此，它用于刻画函数在集合上的分布区域。
分布函数：设
\(f(x)\)
在
\(E\)
上可测（不要求可积），则称
\(f(x)\)
在
\(E\)
上的分布函数为
\[f_*(\lambda)=m(\{x\in E:|f(x)|>\lambda\}),\quad \lambda>0.
\]
显然
\(f_*(\lambda)\)
是
\((0,\infty)\)
上的减函数。
关于分布函数，有以下结论：若
\(f(x)\)
是
\(E\)
上的可测函数，则对
\(1\le p<\infty\)
，有
\[\int_{E}|f(x)|^{p}\mathrm{d}x=p\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}f_*(\lambda)\mathrm{d}\lambda.
\]
作函数
\(F(\lambda,x)=\chi_{\{|f(x)|>\lambda\}}(\lambda,x)\)
，由Tonelli定理可得
\[\begin{aligned}
&\quad \int_{E}|f(x)|^{p}\mathrm{d}x\\
&=\int_{E}\left[\int_{0}^{|f(x)|}p\lambda^{p-1}\mathrm{d}\lambda\right]\mathrm{d}x\\
&=\int_{E}\left[\int_{0}^{\infty}p\lambda^{p-1}\chi_{\{\lambda<|f(x)|\}}\mathrm{d}\lambda \right]\mathrm{d}x\\
&=\int_{0}^{\infty}\int_{E}p\lambda^{p-1}\chi_{\{|f(x)|>\lambda\}}\mathrm{d}x\mathrm{d}\lambda\\
&=\int_{0}^{\infty}p\lambda^{p-1}\left[\int_{E}\chi_{\{|f(x)|>\lambda\}}\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}\lambda\\
&=\int_{0}^{\infty}p\lambda^{p-1}f_*(\lambda)\mathrm{d}\lambda.
\end{aligned}
特别当
\(p=1\)
时，有
\[\int_{E}|f(x)|\mathrm{d}x=\int_{0}^{\infty}m(\{x:|f(x)|>\lambda\})\mathrm{d}\lambda.
