相关文章推荐
曾深爱过的黄瓜  ·  定积分与不定积分的区别：由性质着手- 知乎·  1 年前    · 
曾深爱过的黄瓜  ·  定积分和不定积分的计算——换元法- 知乎·  1 年前    · 
曾深爱过的黄瓜  ·  定积分和不定积分的区别？·  1 年前    · 
曾深爱过的黄瓜  ·  不定积分、定积分的区别与联系_定积分和不定积 ...·  1 年前    · 
曾深爱过的黄瓜  ·  不定积分与定积分有什么区别？ - ...·  1 年前    · 
小百科  ›  1. 不定积分及其基本计算方法
不定积分 dx sin int函数 不定积分
曾深爱过的黄瓜
1 年前

定义 1 . ( 原函数 )
区间 $I$ 上， $F'(x)=f(x), \forall x\in I$ ，或 $dF(x)=f(x)dx$ ，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个 原函数 。

  • 区间 $I$ 可以是开、或闭，有限、或无穷。端点处为单侧导数
  • $F'(x)=f(x)$ ，则 $(F(x)+c)'=f(x), \forall c\in \mathbb{R}$ 。所以 原函数不唯一
  • 若 $F'(x)=G'(x)=f(x)$ ，则 $(F(x)-G(x))'=0$ ，所以 $G(x)=F(x)+c$ 。

    综上所述， $F(x)+c$ 为所有 $F'(x)=f(x)$ 的函数。

    定义 2 .
    称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的全体原函数 $\{F(x)+c\}$ 为函数 $f(x)$ 在 $I$ 上的 不定积分 ，记为

    \[\int f(x)dx

    $\int$ 为 积分符号 ， $f(x)$ 为 被积函数 ， $x$ 为 积分变量 ， $f(x)dx$ 为 被积表达式 ，

    积分符号 $\int$ 更确切地表示是求一个函数 $F(x)$ ，它的微分是 $f(x)dx$ 。因此， 函数 $f(x)$ 的不定积分，应该更确切地称为微分 $f(x)dx$ 的不定积分。

    不定积分是微分的逆运算

    几何意义：

    求 $f(x)$ 的原函数，就是找一个函数 $y=F(x)$ ，它在 $x$ 处的切线斜率为 $f(x)$ 。这样的一条曲线称为 $f(x)$ 的一条 积分曲线 。而将一条 积分曲线 沿 $y$ 方向作平移，就可以得到所有的积分曲线。因此，不定积分 $\int f(x)dx$ 表示包含全部这些积分曲线的 曲线族 。

    \usetikzlibrary{arrows} \usetikzlibrary{intersections, calc} \begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,>=latex'] \def\tangentlength{1.2cm}; % code for draw a coordinate axes \node(O) at (0,0) [below left]{$\mathrm{O}$}; \draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[below]{$x$}; \draw[->] (0,-0.2) -- (0,2.6) node[left]{$y$}; \tikzset{ integration/.pic={ % Code for a curve with tangent \draw[name path=graph, thick] (0.1,0.1) .. controls (2,0) and (2,2) .. (4,2); \path[name path=main] (2.8,0) -- (2.8,2); \path[name path=sub] ($(2.8,0)+(1pt,0)$) -- ($(2.8,2)+(1pt,0)$); \path[name intersections={of=graph and main}]; \coordinate (a) at (intersection-1); \path[name intersections={of=graph and sub}]; \coordinate (b) at (intersection-1); \draw ($(a)!-\tangentlength/2!(b)$)--($(a)!\tangentlength/2!(b)$); \draw (0,0.5) pic {integration}; \draw (0,0) pic {integration}; \draw[dashed,help lines] ($(0,0)!(a)!(0,1)$)-| ($(0,0)!(a)!(1,0)$); \end{tikzpicture}
    \[\int f(x)dx=F(x)+C

    若要求出过定点 $(x_0,y_0)$ 的积分曲线，则需要确定积分常数 $C$ 的值。通常称确定常数 $C$ 的条件

    \[y(x_0)=y_0

    为 初值条件 。带有初值条件的问题

    \[\begin{cases} y'(x)=f(x) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases}

    为 初值问题 。

    \[\begin{aligned} &\int k dx=kx+C & \\ &\int x^\alpha dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C , \alpha\neq -1 & &\int \dfrac{1}{x} dx=\ln(|x|)+C \\ &\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C && \int\dfrac{1}{\sin^2x}=-\cot x+C \\ &\int\sin xdx=-\cos x+C && \int \cos xdx=\sin x+C \\ &\int e^xdx=e^x+C && \int a^x dx=\dfrac{1}{\ln a}a^x+C \\ \end{aligned}
    \[\begin{aligned} &\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x + C&& \\ &\int\dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x +C && \\ &\int\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln(x+\sqrt{1+x^2}) + C && \\ \end{aligned}

    积分的基本性质

  • $\displaystyle\left(\int f(x)dx\right)'=f(x)$ , $\displaystyle d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx$
  • $\displaystyle\int dF(x)=\int f(x) dx=F(x)+c$ , $\displaystyle\int f'(x) =f(x)+c$
  • $\displaystyle\int\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha \int f(x)dx+\beta\int g(x)dx$ , 其中 $\alpha$ , $\beta$ 为不全为0的实数

    直接计算积分

    例 1 . $\displaystyle\int 2^x e^x dx$

    例 2 . $\displaystyle\int\dfrac{x^2+1}{\sqrt x}dx$

    例 3 . $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}dx$

    例 4 . ( 例4.1.2 ) $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}dx$

    例 5 . $\displaystyle\int\dfrac{1}{1-x^4}dx$

    例 6 . 证明 $(-\infty,1),(-1,1),(1,+\infty)$ 上 $\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2}$ 是 $\dfrac{1+x^2}{1+x^4}$ 的原函数。并求出 $\dfrac{1+x^2}{1+x^4}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的原函数

    例 7 . $\displaystyle\int\max\{x^2,x^4\}dx, x\in\mathbb{R}$

    例 8 . $\displaystyle\int e^{|x|}dx , x\in\mathbb{R}$

    • 换元积分法

    换元积分法与复合函数的微分法则相对应。它通过引入新的变量，来改变被积函数的形式，使不定积分易于求解。

    定理 1 . ( 第一换元 )
    设 $F(u)$ 是 $f(u)$ 的一个原函数， $u=\phi(x)$ 可微，则

    \[\int f(\phi(x))\cdot\phi'(t)dx=F(\phi(x))+C

    即， $f(\phi(x))\cdot\phi'(x)$ 的一个原函数是 $F(\phi(x))$ 。

    定理 2 . ( 第二换元 )
    设函数 $x=\phi(t)$ 是严格单调的可微函数，且 $\phi'(t)\neq0$ 。若

    \[\int f(\phi(t))\phi'(t)dt=G(t)+C
    \[\int f(x)dx=G(\phi^{-1}(x))+C

    即， $f(x)$ 有一个原函数 $G(\phi^{-1}(x))$ 。

    第一换元法 ，又叫做 凑微分法 。在被积表达式中，正好看到了某个微分式。 如，注意到 $\cos xdx=d(\sin x)$

    \[\begin{aligned} \int \cos x\sin x dx=&\int \sin x d(\sin x) \\ (t=\sin x)=&\int t dt=\frac{1}2t^2+c=\frac{1}2\sin^2x+c \end{aligned}

    第二换元法 则是主动用表达式替换 $x$ ，如 令 $t=\sin x$ ，则 $dt=\cos x dx$ ，即 $dx=\dfrac{1}{\cos x}dt$ ，则有

    \[\begin{aligned} \int \cos x \sin x dx=\int \cos(x) t dx=\int t \cos x \dfrac{1}{\cos x}dt \\ =\int t dt=\frac{1}2t^2+c=\frac{1}2\sin^2x+c \end{aligned}

    例 9 . $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{4+(ax+b)^2}}dx$

    例 10 . $\displaystyle\int\dfrac{1}{(1+x)\sqrt{x}}dx$

    例 11 . $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}dx$

    例 12 . $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x}dx$ , $\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x}dx$

    例 13 . $\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x^4+1}dx$ , $\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx$

    分部积分法

    定理 3 . ( 分部积分 )
    设 $u(x),v(x)$ 可导， $\displaystyle\int u'(x)v(x)dx$ 存在，则 $\displaystyle \int u(x)v'(x)dx$ 也存在，且

    \[\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx

    例 14 . ( 例4.1.12 ) $\displaystyle\int\ln xdx$ , $\displaystyle\int\arctan x dx$ , $\displaystyle\int\arcsin x dx$

    例 15 . $\displaystyle\int\sin x\ln(\tan x)dx$

    例 16 . 求积分 $\displaystyle\int\frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}dx$

    例 17 . $\displaystyle\int x^2\sin(2x)dx$

    例 18 . $\displaystyle\int(\dfrac{\ln x}{x})^2dx$

    对积分 $\displaystyle\int p_n(x) f(x) dx$ ，其中 $p_n(x)$ 为多项式，

  • $f(x)$ 为 $\sin(x), \cos(x), e^x$ ，则可以采用 降幂 的方法
    \[\int p_n(x)\sin xdx=-\int p_n(x)d\cos x
  • $f(x)$ 为 $\ln x,\arctan x, \arcsin x$ ，可以采用 升幂 的方法
    \[\int p_n(x)\ln xdx=\int \ln x dp_{n+1}(x)

    例 19 . $\displaystyle\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx$

    例 20 . $\displaystyle\int \sqrt{x^2+A}dx$

    例 21 . $\displaystyle\int e^{ax}\cos(bx)dx , a,b\neq 0$

    例 22 . $\displaystyle\int \sec^n xdx=I_n$

    例 23 . $\displaystyle\int\tan^n xdx=I_n$

    例 24 . ( 例4.1.14 ) $\displaystyle\int\dfrac1{(x^2+a^2)^n}dx$

    vertical slide 2

    1 . 不定积分及其基本计算方法
    1.1 . 基本概念
    1.2 . 换元积分法
    1.3 . 分部积分法
    1.4 . 目录

    例 25 . $f(x)$ 在 $I$ 上定义，有原函数 $F(x)$ ，则

  • 若 $f(x)$ 为奇函数，则 $F(x)$ 为偶函数
  • 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $F(x)$ 中只有唯一一个奇函数
    • 证： 设 $F'(x)=f(x)$ 为其中一个原函数

    1. 由 $(F(x)-F(-x))'=f(x)+f(-x)=0$ ，可知

    \[F(x)-F(-x)=c

    又 $F(0)-F(-0)=0$ ，可知 $c=0$ ，即有

    \[F(x)=F(-x)

    2. 由 $(F(x)+F(-x))'=f(x)-f(-x)=0$ ，则

    \[F(x)+F(-x)=c
  • 若 $F(0)=0$ ，则 $c=0$ 。这时，有 $F(x)=-F(-x)$ ，此时 $F(x)$ 为奇函数
  • 若 $F(0)\neq0$ ，则 $F(x)$ 不是奇函数

    [#ex-2-1-0].

    •  
    推荐文章
    曾深爱过的黄瓜  ·  定积分与不定积分的区别：由性质着手- 知乎
    1 年前
    曾深爱过的黄瓜  ·  定积分和不定积分的计算——换元法- 知乎
    1 年前
    曾深爱过的黄瓜  ·  定积分和不定积分的区别？
    1 年前
    曾深爱过的黄瓜  ·  不定积分、定积分的区别与联系_定积分和不定积分_蓝颜打野的博客 ...
    1 年前
    曾深爱过的黄瓜  ·  不定积分与定积分有什么区别？ - 教书匠宝刀君的回答- 知乎
    1 年前
    Link管理   ·   Sov5搜索   ·   小百科
    小百科 - 百科知识指南