①反证法的理论根据是：原命题为真，则它的逆否命题也为真.在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立.

②用反证法证明命题的一般步骤是

第一步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

③一般地来说，在什么条件下(或问题中)想到用反证法来证明，下面提供几种情形作为参考.

第一，问题共计有n种情况，现要证明其中一种情况成立时，可想到用反证法证明把其他的　n-1种情况都排除，从而确定这种情况成立.

如要证明两条直线相交，可用反证法证明这两条直线平行不成立，因为在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，平行不成立，那么间接的证明两条直线相交；

第二，命题用否定形式叙述的，如证明2不是方程2x+1=0的根，可用反证法证明，假设2是方程2x+1=0的根，则2×2+1应等于0，而2×2+1=5，产生矛盾，从而确定2不是方程2x+1=0的根成立；

第三，命题用“至少”的字样叙述时，可用反证法证明，如证明a≠b，b≠c至少有一个成立，那我们可用反证法证明如下：假设a≠b，b≠c都不成立，即a=b且b=c，从这一条件出发推得矛盾，故a=b，且b=c不成立，因此，a≠b，b≠c至少有一个成立；

第四，当命题成立非常明显，而要直接证明，所用的理论不少，且不容易说明白，而它的逆命题易证，如（1）中的举例，证明两条直线相交的依据几乎没有，而平行线有很多性质，易于推理，因此，用反证法把证明两条直线相交问题转化到平行线的性质．

2.否命题与命题的否定是两个不同的概念

若p表示命题，“非p”叫做命题的否定.如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否定是“p则非q”，即只否定结论.

原命题的否定命题是“若非p，则非q”，即否定条件又否定结论，例如“菱形的四条边都相等”的否定为“菱形的四条边不都相等”；把“菱形的四条边都相等”作为原命题，则它的否命题是“若四边形不是菱形，则它的四条边不都相等.”

3．三个逻辑联结词与集合的交、并、补运算的关系。

(1) 对“或”的理解可联想到集合中“并集”的概念， 或 中的“或”，它是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一个是成立。

(2) 对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念， 或 中的“且” 是指“x∈A”或“x∈B”这两个条件都要满足。

(3) 对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”概念，若命题中对应于集合P，则命题非P就应对应着集合P在全集U中的补集CuP。

4．用集合观点来理解“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”

(1) 若p q，则p是q的充分条件；若p q，则p是q的必要条件。设A={x|p}，B={x|q}，如果A B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件，即p q。如图：

(2) 若A=B则A是B的充要条件，即p q.

5．结合转化思想、数形结合思想等用集合观点来解决《简易逻辑》中一些问题。

例1、 写出若a、b<0则a<0且a>0的否命题

“若p则q”的否命题“若 p则 q”，它涉及了逻辑联结词的否定，对此我们从集合角度来看，a<0且b>0可表示为一个点集A，用图形表示。如图，不满足“a<0且b>0”的点（a,b），在阴影的另一部分，即 。它可以看作是Ｘ轴及以下部分(b≤0)和Ｙ轴及右侧部分（a≥0）部分合起来构成，即两块区域的并集， a、b满足“a≥0或b≤0”。

因而，否命题为若a、b≥0则a≥0或b≤0。

说明：“p且q”的否定为“非p或非q”，用集合的观点来解释，并结合图形，同学更容易接受并理解。

例2、 对实数x、y、“|x|+|y|≤1”是“|x|≤1，|y|≤1”的什么条件?

从集合的角度判断，考虑集合A={(x,y)| |x|+|y|≤1}与B={(x,y)| |x|≤1，|y|≤1}的包含关系。如图

可以知道，A B，所以 |x|+|y|≤1是|x|≤1，|y|≤1的充分而不必要条件。

说明：充分条件、必要条件充要条件是重要的数学概念，在判断时应①确定条件是什么、结论是什么；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件。而前面我们已经用集合的观点来概括“充分”、“必要”、“充要”条件，因此解决这类问题时，有时可以借助集合的运算及包含关系来解决。

四、例题讲解

例1、 判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题，同时，也判断这些命题的真假.

①若a＞b，则ac 2 ＞bc 2

②若a＞b，则 ＜

③若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式

④若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线

⑤若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形

⑥若在二次函数y＝ax 2 +bx+c中，b 2 -4ac＜0，则该二次函数图像与x轴有公共点

要判断命题的真假性，关键是看条件是否能推出结论，如果能，则是真命题，如果不能，则是假命题．写出其它的几个命题时，关键是分清条件和结论以及条件和结论的否定．

①　∵当c＝0时，ac 2 ＝bc 2 ，∴该命题为假命题

逆命题：若ac 2 ＞bc 2 ，则a＞b.为真

否命题：若a≤b，则ac 2 ≤bc 2 .为真

逆否命题：若ac 2 ≤bc 2 ，则a≤b.为假

②　该命题为假命题：∵ 当a＞0，b＜0时 > ;

逆命题：若 < ，则a＞b.为假(如b＞0，a＜0时)

否命题：若a≤b，则 ≥ .为假(如b＞0，a＜0时)

逆否命题：若 ≥ ，则a≤b.为假(如a＞0，b＜0时)

③　该命题为真，这是等式的性质

逆命题：若两个式子都乘以同一个数，所得结果相等，则这两个式子相等.为假，如把x和x 2 +1都乘以0后相等，但x≠x 2 +1

否命题：若两个式子不相等，则把它们都乘以同一个数，所得结果也不相等.为假

逆否命题：若两个式子都乘以同一个数，所得结果的不相等，则这个两式也不相等.为真

④　该命题为真

逆命题：若直线是圆的切线，则圆心到直线的距离等于半径.为真

否命题：若圆心到直线的距离不等于半径，则该直线不是圆的切线.为真

逆否命题：若直线不是圆的切线，则圆心到直线的距离不等于半径.为真

⑤　该命题为真

逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补.为真

否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.为真

逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补.为真

⑥　该命题为假，∵当b 2 -4ac＜0时，二次方程ax 2 ＋bx＋c＝0没有实根.因此二次函数y＝ax 2 ＋bx＋c的图像与x轴无公共点.

逆命题：若二次函数y＝ax 2 ＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b 2 －4ac＜0.为假

否命题：若二次函数y＝ax 2 ＋bx＋c中，b 2 －4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点.为假

逆否命题：若二次函数y＝ax 2 ＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b 2 －4ac≥0，为假.

1.写出一个命题的逆命题，否命题及逆命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写.

2.在判断原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假时，要利用原命题与其逆否命题的等价性（即同真同假），逆命题与否命题的等价性．

例2、 设集合A、B是全集U的两个子集，则A B是 的（　）

A.充分不必要条件　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

若A B，用文氏图可知 成立。若 ，比如A=B满足条件，但A B不成立。所以A B是 的充分不必要条件。

答案： A

例3 、已知 .若 是 的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

分析： 可以有两个思路：

（1）先求出 和 ，然后根据 ， ，求得m的取值范围；

（2）若原命题为“若 ，则 ”，其逆否命题是“若p则q”，由于它们是等价的，可以把求 是 的必要而不充分条件等价转换为求p是q的充分而不必要条件．

解法一 可求出

由 是 的必要而不充分条件，知 A ，它等价于

解得m的取值范围是 ．

根据思路二， 是 的必要而不充分条件，等价于p是q的充分而不必要条件．设

所以，A B ， 它等价于

同样解得m的取值范围是 ．

例4、 已知下列三个方程：

x 2 +4ax-4a+3＝0，

x 2 +(a-1)x+a 2 ＝0，

x 2 +2ax-2a＝0

至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围.

从正面入手，本题所要考虑的情况较多，但其反面情况仅有一种情况，故可考虑用反证法的思想去求解.

解答： 假设三个方程均无实数根，则有

(4a) 2 -4×(-4a+3)＜0，                  ①

(a-1) 2 -4a 2 ＜0，                        ②

(2a) 2 -4×(-2a)＜0.                    ③

由①得4a 2 +4a-3＜0，即

由②得(a+1)(3a-1)＞0，即a＜-1，或

由③得a(a+2)＜0，即-2＜a＜0.

取①、②、③的并集得

则使三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围应为 ，即

本题要求“三个方程中至少有一个方程有实数根时的a的取值范围”，只要求“其反面即三个方程均无实数根时a的取值集合M，再求 即可”.这种反证法的思想很重要，用起来也很简洁明了.否则，用直接法求a的取值范围将是很困难的.