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小百科  ›  1. 一阶微分方程
微分方程
怕老婆的西装
10 月前
\[\dfrac{dW(t)}{dt}=r\cdot W-k

$r=\dfrac{0.05}{12}$ 为每 个月的利息。 $k$ 为每个月还的钱。初时 $W(0)=500000$ ，10年后 $W(120)=0$ 为10年后的欠款。

$\dfrac{dW}{dt}$ 表示了每个月欠款的变化率

定义 1 . ( 微分方程 )
含有未知函数的导数或微分的等式

\[F(x,y(x),y'(x),\cdots,y^{(n)}(x))=0

称为 微分方程 。这里只含有单个自变量，也称为 常微分方程 。 方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数 $n$ ，称为方程的 阶 。

定义 2 . ( 线性微分方程 )
若 $F(x,y,z_1,\cdots,z_n)$ 是关于 $y,z_1,z_2,\cdots,z_n$ 的线性函数，且系数仅为 $x$ 的函数，则称微分方程

\[F(x,y(x),y'(x),\cdots,y^{(n)}(x))=0

为 线性微分方程 。

一个( $n$ 阶) 线性微分方程 可以表示为

\[\begin{aligned} y^{(n)}(x)&+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots \\ &+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=f(x) \end{aligned}

其中 $a_i(x)$ 为已知函数。 若 $f(x)\equiv 0$ ，则称为 齐次线性微分方程 。否则，称为 非齐次线性微分方程

定义 3 .
若 $y=\phi(x)$ 在 $I$ 上有直到 $n$ 阶的连续导数，并且满足

\[F(x,\phi(x),\phi'(x),\cdots,\phi^{(n)}(x))=0

称 $y=\phi(x)$ 为方程的一个 解 。 $I$ 为 $\phi(x)$ 的 定义区间 。

例 2 . 微分方程的解通常不唯一，

  • $x(t)=\dfrac12gt^2+C_1t+C_2$ 是 $x''(t)=g$ 的解，其中 $C_1$ , $C_2$ 为任意常数。
  • $W(t)=\dfrac{k}{r}+Ce^{rt}$ 是 $\dfrac{dW(t)}{dt}=rW(t)-k$ 的解，其中 $C$ 为任意常数。

    • 定义 4 .
    通常称微分方程为 泛定方程 ，含常数的解称为 通解 ，常数称为 积分常数 。 取常数 $C$ 为某个值，满足定解条件，称为 特解 。

    例 3 . 对于自由落体运动问题

    \[\begin{aligned} \begin{cases} x(t)=\dfrac12gt^2+C_1t+C_2 \\ x(0)=0 \Rightarrow C_2=0 \\ x'(0)=0 \Rightarrow C_1=0 \end{cases} \end{aligned}

    可以得到 $x(t)=\dfrac12gt^2$ 为特解

    分离变量法

    对微分方程

    \[y'(x)=f(x,y)=g(x)h(y)
  • 若 $h(y)\neq0$ ，则 $\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ ，因此
    \[\begin{aligned} \dfrac{dy}{h(y)}=g(x)dx \end{aligned} \]
    两边积分，可以得到如下的 隐式表达 的解
    \[\int\dfrac1{h(y)}dy=\int g(x)dx+C
  • 若有某个点满足 $h(A)=0$ ，则 $y(x)\equiv A$ 也是解。 若 $f(tx,ty)=t^n f(x,y), \forall t\neq 0$ ，则称 $f(x,y)$ 是 n次齐次函数 。

    若 $f(x,y)$ 为0次齐次函数，则对于微分方程

    \[y'=f(x,y)

    可以做变量代换 $y(x)=xu(x)$ ，代入后，得到

    \[x u'(x)+u(x)=f(x,xu(x))=f(1,u(x))=\phi(u)

    可以分离变量

    \[\frac{du}{\phi(u)-u}=\frac{dx}x

    若 $\phi(u)-u=0$ 有根 $A$ ，则 $y=A x$ 也是方程的解。

    例 7 . $y'=\dfrac{x+y}{x-y}$

    例 8 . $(y+\sqrt{x^2+y^2})dx-xdy=0$

    例 9 . $y'=\dfrac1{xy}\dfrac{1}{\sin^2(xy^2)}-\dfrac{y}{2x}$

    例 10 . $ f(xy)ydx+g(xy)xdy=0 $

    \[\dfrac{dy}{dx}=f\left(\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right)

    1. 若 $c_1=c_2=0$ ，则

    \[f\left(\dfrac{a_1x+b_1y}{a_2x+b_2y}\right)

    为零次齐次函数，令 $u=\dfrac{y}{x}$

    2. 若 $c_1$ , $c_2$ 中至少有一个不为 $0$ ，且能够找到 $x_0$ , $y_0$ 使得

    \[\begin{cases} a_1 x_0 + b_1 y_0+c_1 = 0 \\ a_2 x_0 + b_2 y_0+c_2 = 0 \end{cases} $\begin{cases}u=x-x_0 \\v=y-y_0\end{cases}$ ， 代入后，有
    \[\begin{cases} a_1x+b_1y=a_1 u +b_1 v \\ a_2x+b_2y=a_2 u +b_2 v \end{cases}

    然后，令 $w=\dfrac{v}{u}$ 即可。

    3. 否则， $a_1b_2=a_2b_1$ 。取 $\lambda=\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}$ ，

    \[f\left(\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right) =f\left(\dfrac{\lambda(a_2 x+b_2 y)+c_1}{(a_2 x+b_2 y)+c_2}\right)

    令 $z=a_2x+b_2y$ ，则 $dz=a_2dx+b_2dy$ ，代入微分方程可得

    \[\dfrac{dz}{dx}=a_2+b_2f\left(\dfrac{\lambda z+c_1}{z+c_2}\right)

    可以直接分离变量

    例 11 . 求 $y=f(x)$ 满足 $y'=\dfrac{2y-x-5}{2x-y+4}$

    例 12 . 求 $y=f(x)$ 满足 $y'=\dfrac{1-3x-3y}{1+x+y}$

    一阶线性方程

    一阶线性方程 的标准形式：

    \[y'(x)+p(x)y(x)=f(x)

    当 $f(x)\equiv0$ 时，方程称为 (一阶)线性齐次方程 ；

    否则，称为 (一阶)线性非齐次方程 。

    对于一阶线性齐次方程

    \[y'(x)+p(x)y(x)=0

    可以直接 分离变量 。

    当 $y\neq0$ 时，有

    \[\begin{aligned} \dfrac{dy}{y}=&-p(x)dx \\ \ln|y|=&-\int p(x)dx+C_1 \\ \end{aligned}
    \[y=Ce^{-\int p(x)dx} , C=\pm e^{c_1}

    另外， $y=0$ 也是方程的解。

    这样，一阶线性齐次微分方程

    \[y'(x)+p(x)y(x)=0
    \[y=Ce^{-\int p(x)dx} , C\in\mathbb{R}

    对 线性非齐次方程 ，

    \[y'(x)+p(x)y(x)=f(x)

    在方程两边同乘以 $e^{\int p(x)dx}$ ，则有

    \[\begin{aligned} \left(y(x)e^{\int p(x)dx}\right)' =&(y'(x)+p(x)y(x))e^{\int p(x)dx} \\ =&f(x)e^{\int p(x)dx} \end{aligned}

    两端积分，有

    \[y(x)e^{\int p(x)dx}=\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx+C
    \[y(x)=e^{-\int p(x)dx}(\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx+C)

    也可以用 常数变异法 解线性非齐次方程。

    把线性齐次方程解中的常数 $C$ ，变为一个函数因子 $C(x)$ 。设解为

    \[y_p(x)=C(x)e^{-\int p(x)dx}

    代入非齐次线性方程中，可得

    \[e^{-\int p(x)dx}\dfrac{dC(x)}{dx}=f(x)

    可解得 $C(x)$ 的通解为

    \[C(x)=\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx+C

    线性非齐次方程的解为

    \[\begin{aligned} y(x)=&e^{-\int p(x)dx}(\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx+C) \\ =&Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx \end{aligned}
    \[y_h(x)=Ce^{-\int p(x)dx}

    是对应的 齐次线性方程的通解 ，而

    \[y_p(x)=e^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx

    则是 非齐次线性方程的特解 。

    例 13 . $y'+y\cot x=x^2\csc x, x>0$

    例 14 . $(y^2-6x)y'+2y=0$

    例 15 . $(x-2xy-y^2)dy+y^2dx=0$

    例 16 . $f(x)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的以 $T$ 为周期的连续函数，证明方程

    \[y'+y=f(x)

    有唯一的以 $T$ 为周期的解

    Bernoulli方程 是一阶非线性的微分方程

    \[y'(x)+p(x)y(x)=Q(x)y^n(x) , n\neq 0,1

    显然， $y\equiv0$ 是一个解。

    当 $y\neq0$ 时，两边乘 $y^{-n}$ ，有

    \[y^{-n}y'+p(x)y^{1-n}=Q(x)

    令 $u=y^{1-n}$ ，则 $\dfrac{du}{dx}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx}$ ，即有

    \[\begin{aligned} \frac1{1-n}\dfrac{du}{dx}+p(x)u = Q(x) \end{aligned}

    这样， Bernoulli方程 就化为如下的一阶线性微分方程

    \[\dfrac{du}{dx}+(1-n)p(x)u=(1-n)Q(x)

    例 17 . $ 3xy'-y-3xy^4\ln x=0$

    例 18 . $xy'\ln x\sin y+(1-x\cos y)\cos y=0$

    观察法

    例 19 . $(3x^2+2xy-y^2)dx+(x^2-2xy)dy=0$

    求 $f(x)$ ?

    例 20 . $f(x)$ 满足

    \[f(x)\cos x+2\int_0^xf(t)\sin tdt=x+1

    例 21 . $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上可导， $g(x)$ 为其反函数； $f(0)=0$ ，且

    \[\int_0^xtf(t)dt+\int_0^{f(x)}g(t)dt=x^2e^x

    例 22 . $f(x)$ 有连续导数，且

    \[\int_0^1f(xt)dt=\dfrac12f(x)+1

    例 23 . $f(x)$ 有连续导数，且

    \[f(x)=-1+x+2\int_0^xtf(x-t)f'(x-t)dt

    例 24 . $f(x)$ 满足

    \[f(x+y)=\dfrac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)},

    且 $f'(0)$ 存在, 求 $f(x)$ ?

    例 25 . $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有连续导数， $f'(0)=1$ ，且

    \[f(x+y)=\dfrac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)},

    求 $f(x)$ ?

    可降阶微分方程

    二阶微分方程的一般形式：

    \[F(x,y(x),y'(x),y''(x))=0
  • 一般来说，二阶微分方程比一阶微分方程要复杂得多，求解起来也困难得多。
  • 对于几类特殊类型的二阶微分方程，可以通过代换化为一阶方程求解。

    不显含未知函数 $y(x)$ 的二阶微分方程

    对于如下形式的微分方程

    \[F(x,y'(x),y''(x))=0 , \mbox{ or } y''(x)=f(x,y'(x))

    可以做变量代换 $p(x)=y'(x)$ ，则微分方程变为

    \[F(x,p(x),p'(x))=0 , \mbox{ or } p'(x)=f(x,p(x))

    是一阶微分方程。设有通解

    \[\phi(x,p(x),C_1)=0

    其中 $C_1$ 是任意常数。再由 $y'(x)=p(x)$ ，可得另一个一阶的方程

    \[\phi(x, y'(x),C_1)=0

    例 26 . $\begin{aligned}\begin{cases}mx''(t)=mg-kx'(t) \\x(0)=0 , x'(0)=0\end{cases}\end{aligned}$

    例 27 . $\begin{aligned}\begin{cases}y''+2x(y')^2=0 \\y(0)=1, y'(0)=\dfrac{-1}2\end{cases}\end{aligned}$

    例 28 . $\begin{aligned}\begin{cases}y''(x+y'^2)=y' \\y(1)=1, y'(1)=1\end{cases}\end{aligned}$

    例 29 . $(\sin x)y''-(\cos x)y'=\sin^2x+1$

    不含自变量 $x$ 的二阶方程

    对于如下形式的微分方程

    \[F(y,y',y'')=0 , \mbox{ or } y''=f(y,y')

    可以做变量代换 $p(x)=y'(x)$ ，将 $p$ 看做 $y$ 的函数，则有

    \[\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{dp}{dx} =\dfrac{dp}{dy}\dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}

    则微分方程变为一阶方程

    \[F(y,p,p\dfrac{dp}{dy})=0 , \mbox{ or } p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p)

    若能得到通解 $p=\phi(y,C_1)$ ， $C_1$ 为任意常数。再由

    \[\dfrac{dy}{dx}=p=\phi(y,C_1)

    可得隐式解

    \[\int\dfrac{1}{\phi(y,C_1)}dy=x+C_2

    例 30 . 求 $y(x)$ ，

    \[\begin{cases} 2yy''=1+(y')^2 \\ y(0)=1, y'(0)=0 \end{cases}

    例 31 . $y y''-(y')^2=0$

    例 32 . $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导， $f(0)=1$ ，且满足

    \[f'(x)+f(x)-\dfrac1{x+1}\int_0^xf(t)dt=0

    求 $f'(x)$ ，并证明 $e^{-x}\leq f(x) \leq 1, \forall x\geq 0$

    在曲线上取两点 $M$ 和 $M'$ ，其横坐标分别为 $x$ 与 $x+dx$ ， 则两点的距离为

    1 . 一阶微分方程
    1.1 . 分离变量法
    1.2 . 齐次方程
    1.3 . 一阶线性方程
    1.4 . 可降阶微分方程
    1.5 . 目录

    例 33 . 谢

    •  
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