这篇文章教你怎么因式分解三次多项式。我们要学会如何用组合方法和因式分解自由项的方法来解决这类问题。
部分1通过组合来分解
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把多项式分成两部分。
分组后分开解决。[1]比如要分解多项式x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0。可以把它分解为 (x3 + 3x2)和 (- 6x - 18)
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找出每项中的公因子。
在(x3 + 3x2)中，x2是公因子。在(- 6x - 18)中， -6 是公因数。
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把公因子提取出来。
把x2从第一项提出来，得出x2(x + 3)。把-6 从第二项提出来，得出-6(x + 3)。
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这两大项要是含有同样因子，可以直接合并。
[2]得到(x + 3)(x2 - 6)。
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观察根，得出解。
若在开根的时候有x2，记得可能有正负两解。[3]得出-3、√6和-√63。
部分2利用自由项
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把多项式整理为ax3+bx2+cx+d。
[4]比如要分解多项式：x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0。
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把所有 "d"的因数找出来。
常数"d"是不含如"x"变量的数。因数就是可以相乘得到另一个数的数。这里，10或 "d"的因数是: 1、 2、 5 和 10。
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找出一个因子，让多项式等于零。
当用d的因数替代"x"时，我们要看看哪个符合方程的解。试试第一个因数 1 ，把x替换掉，得到 (1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0得到 1 - 4 - 7 + 10 = 0。因为 0 = 0 是真实的，所以x = 1 是一个解。
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重新整理一下，如果x = 1，可以把整个方程改一下面目。
"x = 1" 等价于"x - 1 = 0" 或 "(x - 1)" 。我们刚刚从每边都减掉了一个1。
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把剩余的因数都分解出来。
"(x - 1)" 是我们的一个根，看看能不能把剩余的解都提出来，一次解决一个多项式。可不可以把(x - 1) 从 x3 提出来？ 不行，但是可以从第二项借一个 -x2 ，分解为 x2(x - 1) = x3 - x2。可不可以把(x - 1) 从剩余部分提出来？不行，要从第三项 -7x 借一个 3x。于是得到-3x(x - 1) = -3x2 + 3x。因为 -7x 中提取出一个 3x，第三项变为 -10x ，而我们的常数是10。可以分解吗？可以！ -10(x - 1) = -10x + 10。我们改变了一些变量，让其可以分解出 (x - 1) 。重新整理的方程是这样的： x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0 ，但和原先 x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0 没什么差别。
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继续用自由项因数因式分解。
仔细观察我们在第五步中用(x - 1) 因式分解出的数字：x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0。可以重新整理，要再一次分解容易得多: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0。只需要因式分解(x2 - 3x - 10) ，得到(x + 2)(x - 5)。
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于是得到的解就是之前算出来的因数了。
可以把每一项都代回去试试看对不对。(x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 表示解是 1、 -2、5。把-2 代入等式：(-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0。把 5 代入等式：(5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0。
小提示
三次多项式是三个一次多项式的积，或者一个无法分解的二次多项式和一个一次多项式的积。后面的情况，我们将整个等式除以一次多项式得到二次多项式。
