现在开始证明。

\eqref{recursion2} 式与 \eqref{recursion3} 式相加除以 2，稍加整理，即得 \eqref{recursion4} 式。

\eqref{recursion3} 式减去 \eqref{recursion2} 式除以 2，即得 \eqref{recursion5} 式。

由 \eqref{recursion4} 式可得，

\begin{equation} P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x)+xP'_{k-1}(x) \label{recursion7} \end{equation}

\eqref{recursion7}+$x$\eqref{recursion5}，稍加整理，即得 \eqref{recursion6} 式。

下面再推导一个与 \eqref{recursion6} 式类似的递推公式。

由 \eqref{recursion5} 式可得，

\begin{equation} P'_{k}(x)=xP'_{k+1}(x)-(k+1)P_{k+1}(x) \label{recursion8} \end{equation}

\eqref{recursion8}+$x$\eqref{recursion4}，稍加整理，得

\begin{equation} (x^2-1)P'_{k}(x)=(k+1)P_{k+1}(x)-(k+1)xP_{k}(x) \label{recursion9} \end{equation}

标签: 勒让德多项式

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rising sun : 老师，建议添加如果从（0，0）直接走到（1，1）的第三条路径

jiawen : 为什么这个榜单很不全，有的学校没有

JyZ : 你好，我最近尝试解三维周期性PNP遇到了些困难暂时无法解决，方便...

杜江玮 : 老师，您好！我想问一下，第一行中的Fourier变换的基函数ex...

小文 : 博主您好，这篇博文貌似没有附上图片。

王先生 : 非常感谢您的回复，我目前正在支持国内一个新百科项目——识典百科。...

瞿立建 : 谢谢你能写维基百科。我早就退出了。我大约是2013年开始写维基百...

瞿立建 : 谢谢唐老师的告知

王先生 : 您好，在维基上看到您参与了很多物理、数学和化学领域条目的编辑，想...

陈婧乐 : 您好，想问下您算出来了吗，我最近也在算这个，卡住了，打扰您，不胜感激

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