∫e^（-x^2）dx 是超越积分(不可积积分)，它的原函数是非常规的可求其定积分：--------------------- 作者：SethChai 来源：CSDN 原文：https://blog.csdn.net/a493823882/article/details/81000079...
1. 凑一下
设∫−∞∞ e−x2 dx=I\int_{-\infty}^\infty\,e^{-x^2}\,dx = I∫−∞∞e−x2dx=I，而且∫−∞∞ e−y2 dy=I\int_{-\infty}^\infty\,e^{-y^2}\,dy = I∫−∞∞e−y2dy=I
那么 I2=∫−∞∞∫−∞∞ e−(x2+y2) dxdyI^2=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\,e^{-{(x^2+y^2)}}\,dxdyI2=∫−∞∞∫−∞∞
I=∫−∞+∞e−x2dx=∫−∞+∞e−y2dy
I=\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-y^2}dy}
I=∫−∞+∞e−x2dx=∫−∞+∞e−y2dy
I2=∫−∞+∞e−x2dx⋅∫−∞+∞e−y2dy=∫−∞+∞dx∫−∞+∞e−x2⋅e−y2d
cosbx⋅e−x2cosbx \cdot e^{-x^2}cosbx⋅e−x2 在负无穷到正无穷的
积分
∫−∞∞cosbx⋅e−x2dx
\int_{-\infty}^{\infty} cosbx \cdot e^{-x^2}dx\,
∫−∞∞cosbx⋅e−x2dx
令 u = arcsin(x)，dv = dx，则 du/dx = 1/√(1-x^2)，v = x
∫arcsin(x) dx = xarcsin(x) - ∫x * (1/√(1-x^2)) dx
令 u = 1/√(1-x^2)，dv = x dx，则 du/dx = x/[(1-x^2)^(3/2)]，v = 1/2 * x^2
∫arcsin(x) dx = xarcsin(x) - x√(1-x^2)/2 + ∫(1/√(1-x^2)) * x^2 dx
对最后一个
积分
再次使用分部
积分
法：
令 u = x，dv = (1/√(1-x^2)) dx，则 du/dx = 1，v = arcsin(x)
∫(1/√(1-x^2)) * x^2 dx = x * arcsin(x) - ∫arcsin(x) dx
将∫arcsin(x) dx代入上式：
∫(1/√(1-x^2)) * x^2 dx = x * arcsin(x) - x√(1-x^2)/2 - ∫xarcsin(x) dx
2∫arcsin(x) dx = x * arcsin(x) - x√(1-x^2)/2 + x * arcsin(x) - 2∫arcsin(x) dx
3∫arcsin(x) dx = x * arcsin(x) - x√(1-x^2)/2
最终结果为：
∫arcsin(x) dx = (2/3) * x * arcsin(x) + (1/3) * x√(1-x^2) + C，其中C为常数。
