判别式的概念及算例

1. 判别式的概念

多项式的判别式是为了考虑多项式是否有重跟而引入的工具, 在高等代数引入这个概念是有许多东西都没有交代清楚,本文将对此进行整理.

**定义 1 **: 设 \mathbb{F} 为域, \mathbb{F}[X] 为域 \mathbb{F} 上的多项式环, 对于环 \mathbb{F}[X] 任意的多项式
为多项式 f(X) 的判别式, 其中 \alpha_{i} ,i=1,2,\dots,n , 为 f(X) 在其分裂域上的零点.

  • 只要判别式在定义中有 a_{n}^{2n-2} 这个常数只是技术上的处理,计算判别式有效的方法还是通过结式来计算,当然在使用结式来计算式, 判别式的计算立刻就可以推广到环上.
  • 对于任意的域 \mathbb{F} , 其上的 n 次多项式 f(X)=a_{n}X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0,a_{n}\neq 0 在其上分裂域上恰好只要 n 个零点(重数计算在内).

    • 2. 多项式的结式

    定义 2 : 设
    为多项式环 \mathbb{F}[X] 上的多项式,我们称行列式

    为多项式 f(X) 与 g(X) 的结式,也称为多项式 f(X) 与 g(X) 的结式 Sylvester 行列式.

    当然,下面定理是关于多项式的结式的两个重要结果

    定理 1 : 设
    为多项式环 \mathbb{F}[X] 上的多项式, x_1,x_2,\cdots,x_m , y_1,y_2,\cdots,y_n 分别为他们在其分裂域上的零点,则
    定理 2 : 设
    为多项式环 \mathbb{F}[X] 上的多项式, 则其判别式为

    3. 判别式的具体算例

    3.1 二次多项式的判别式的计算

    对于二次多项式 f(X)=aX^2+bX+c , 下面我们来计算其判别式, 我们假设 \alpha_1,\alpha_2 为其分裂域 \mathbb{E} 上的两个跟,因此在环 \mathbb{E}[X] 上 f(X) 可以分解成
    因此我们有
    下面我们具体通过例子来考察这个判别式的意义,我们考虑二元域 \mathbb{F}_{2}=\{\bar{0},\bar{1}\} , 对于其上的二次多项式为
    只有如下 4 种可能.